Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形的兩邊分別在軸、軸的正半軸上，.點從點出發，沿軸以每秒個單位長的速度向點勻速運動，當點到達點時停止運動，設點運動的時間是t秒.將線段的中點繞點按順時針方向旋轉，得點，點隨點的運動而運動，連接.

(1)請用含t的代數式表示出點的坐標.

(2)求為何值時，的面積最大，最大為多少?

(3)在點從向運動的過程中，能否成為直角三角形?若能，求的值:若不能，請說明理由.

(4)請直接寫出整個運動過程中，點所經過的長度.

Answer 1

【答案】；；能，2或；

【解析】

（1）設出P點的坐標，再求出CP的中點坐標，根據相似的性質即可求出點D的坐標；

（2）根據點D的坐標及三角形的面積公式直接求解即可；

（3）先判斷出可能為直角的角，再根據勾股定理求解；

（4）根據點D的運動路線與OB平行且相等即可解決

（1）∵點P從點出發，沿軸以每秒個單位長的速度向點勻速運動

設CP的中點為F，過點D作DE⊥OA，垂足為E，

∵

∵F繞點P順時針旋轉90°得到點D

又

（2）∵

∴當時，最大，為4

（3）能構成直角三角形

當時，

由勾股定理得，

即

解得 或（舍去）

當時，此時點D在AB上

即

∴

綜上所述，或時，能成為直角三角形

（4）當點P在原點O處時，對應的

當點D運動時，直線 的斜率 ，即無論點D如何運動，直線的斜率為固定值，即點D的運動軌跡始終在直線上，

∴點D的運動路線與OB平行

當點P運動到A時， ，此時 的坐標為

即點D的運動軌跡為線段

∵點與點B,C共線

∴軸

∵四邊形為平行四邊形

∴點D的運動路線與OB平行且相等

∵

∴點D運動路線的長為