Question

5．如圖1，是拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）圖象的一部分，已知拋物線的對稱軸為直線x=2，與x軸的一個交點是（-1，0）；
（1）補充完下列結論：abc＞0；4a-2b+c＞0；b²-4ac＞0
（2）如圖2，當a=1時，一次函數y=2x-5與y=x²+bx+c交于A、C兩點，求不等式
2x-5＞x²+bx+c的解集．
（3）拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得PB+PC的值最�。咳舸嬖�，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由拋物線開口方向得到a＞0，由拋物線的對稱軸為直線x=-$\frac{2a}$=2得到b＜0，由拋物線與y軸的交點在x軸下方得到c＜0，所以abc＞0；由x=-2時，函數值為正數得到4a-2b+c＞0；由拋物線與x軸有2個交點得到b²-4ac＞0；
（2）利用對稱性求得B點坐標，利用交點式求得函數解析式，整理成一般形式，得出一次函數y=2x-5與y=x²+bx+c交于A、C兩點，利用圖象求得2x-5＞x²+bx+c解集即可；
（3）利用對稱性求得C點對稱點C′的坐標為（-2，7），進一步求得直線BC′解析式，確定點P的坐標即可．

解答 解：（1）abc＞0；4a-2b+c＞0；b²-4ac＞0；
（2）由已知B為（-1，0）關于直線x=2的對稱點，
∴B點坐標為（5，0），
∴拋物線的解析式為：y=（x+1）（x-5），
當2x-5=x²-4x-5時，x₁=0，x₂=6，
由圖可知：0＜x＜6為原不等式的解集；
（3）存在點P．

理由如下：由（2）可知：當x=6時，y=7
∴C點坐標為（6，7），
C′點為C點關于直線x=2的對稱點，則C′的坐標為（-2，7），
設直線BC′的方程為：y=mx+n，
則$\left\{\begin{array}{l}{-2m+n=7}\\{5m+n=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=5}\end{array}\right.$，
即y=-x+5，
當x=2時，y=3即P點坐標為（2，3）．

點評 此題考查二次函數綜合題，待定系數法求函數的解析式，一次函數與二次函數的交點問題，利用圖象解決不等關系，以及利用對稱性求最短距離，綜合性較強．