Question

如圖，矩形OABC放入平面直角坐標系中，使OA，OC分別落在x軸，y軸上，連接OB，將紙片OABC沿BC折疊，使點A落在點A′處，A′B與y軸交于點F．已知OA=1，AB=2．
（1）設CF=x，則OF=______；
（2）求BF的長；
（3）設過點B的雙曲線為，試問雙曲線l上是否存在一點M，使得以OB為一邊的△OBM的面積等于1？若存在，試求出點M的橫坐標；若不存在，試說明理由．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCO是矩形，
∴OC=AB，
∴OF=2-x；

（2）由軸對稱的性質可知：∠FBO=∠OBA，
在矩形OABC中，OC∥AB，
則∠FOB=∠OBA，
∴∠FBO=∠OBA，
∴BF=OF=2-x；
在Rt△FCB中，BC=OA=1，
由勾股定理可得：BF²=CF²+BC²
即：（2-x）²=x²+1²，
解得：，
則BF=OF==．

（3）設雙曲線l的解析式為：（k≠0），又過點B（1，2）
∴，
∴k=2，
∴，
∵S_△OAB==×1×2=1，
∴S_△COB=S_△A′OB=1．
∴雙曲線l上符合條件的點M，應在與OB平行且距離等于點C到OB的距離的直線上，
∵直線OB過點（0，0），（1，2）
∴直線OB的解析式為y=2x，
則過點C與OB平行的直線為：y=2x+2，
點M可能是過點C且與OB平行的直線與雙曲線l的交點，
由，
解得：x=，
由軸對稱性可知，點M可能是過點A且與OB平行的直線與雙曲線l的交點，
由，
解得：x=
綜上，符合條件的點M的橫坐標是x=或x=．
分析：（1）根據矩形的性質得OC=AB，則OF=2-x；
（2）根據軸對稱的性質得：∠FBO=∠OBA；根據平行線的性質，得∠FOB=∠OBA．從而得到等腰三角形．則BF=OF．再根據勾股定理得到方程，進行求解．
（3）首先根據點B的坐標求得雙曲線的解析式，再根據△OAB和△OBC的面積是1，結合兩條平行線間的距離處處相等，則點M即是兩條平行線和雙曲線的交點．根據平行線的k值相等，以及點A，C的坐標分別求得兩條平行線的解析式，再進一步和雙曲線聯立解方程組，即可求得點M的坐標．
點評：此題綜合運用了軸對稱的性質、勾股定理以及求函數圖象交點的坐標的方法，對于學生綜合分析問題的能力要求比較高．