【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,點O在AC上,以OA為半徑的⊙O交AB于點D,BD的垂直平分線交BC于點E,交BD于點F,連接DE.
(1)判斷直線DE與⊙O的位置關系,并說明理由;
(2)若AC=6,BC=8,OA=2,求線段DE的長.
【答案】(1)直線DE與⊙O相切;(2)4.75.
【解析】試題分析:(1) 直線DE與⊙O相切,連接OD,根據等腰三角形的性質可得∠A=∠ODA,根據線段垂直平分線的性質及等腰三角形的性質易得∠B=∠EDB,易證ODA+∠EDB=,即可得∠ODE=
-
=
,所以直線DE與⊙O相切;(2)連接OE,設DE=x,則EB=ED=x,CE=8-x.因∠C=∠ODE =
,根據勾股定理可得
,即
,解得x的值即可得線段DE的長.
試題解析: (1) 直線DE與⊙O相切.
理由如下:
連接OD,
∵OD=OA,
∴∠A=∠ODA.
∵EF是BD的垂直平分線,
∴EB="ED."
∴∠B=∠EDB.
∵∠C=,
∴∠A+∠B=.
∴∠ODA+∠EDB=.
∴∠ODE=-
=
.
∴直線DE與⊙O相切.
(2) 解法一:
連接OE,
設DE=x,則EB=ED=x,CE=8-x.
∵∠C=∠ODE =,
∴.
∴.
∴.
即DE=.
解法二:
連接DM,
∵AM是直徑,
∴∠MDA=,AM=4.
又∵∠C=,
∴,
.
∴, ∴AD=2.4.
∴BD=10-2.4=7.6.
∴BF=.
∵EF⊥BD,∠C=,
∴.
∴, BE=
.
∴DE=.
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(1) 求y與x的函數關系式;
(2) 根據服裝廠要求,小李每月加工A型服裝數量應不少于B型服裝數量的,那么他的月收入最高能達到多少元?
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