Question

【題目】如圖，直線y＝－x＋分別與x軸、y軸交于B、C兩點，點A在x軸上，∠ACB＝90°,拋物線＝ax2＋bx＋經過A、B兩點．

（1）求A、B兩點的坐標；

（2）求拋物線的解析式；

（3）點M是直線BC上方拋物線上的一點，過點M從作MH⊥BC于點H，作軸MD∥y軸交BC于點D，求DMH周長的最大值．

Answer 1

【答案】(1) 點A的坐標為（－1，0）； (2) y＝－x2＋x＋ (3).

【解析】

試題(1)、根據直線的函數解析式求出點B和點C的坐標，然后根據△AOC和△COB相似得出點A的坐標；(2)、將點A和點B的坐標代入函數解析式，利用待定系數法求出函數解析式；(3)、由題意知，△DMH為直角三角形，且∠M＝30°，當MD取得最大值時，△DMH的周長最大；設出點M的坐標，從而得出點D的坐標，然后利用做差法得出MD的長度，利用函數的性質求出MD的最大值，從而根據特殊直角三角形的性質得出周長的最大值．

試題解析：解： (1)∵直線y＝－x＋；分別與x軸、y軸交于B、C兩點，

∴點B的坐標為(3，0)，點C的坐標為(0，)；

∴∠ACO＋∠BCO＝90°，∠ACO＋∠CAO＝90°， ∴∠CAO＝∠BCO，

∵∠AOC＝∠COB＝90°， ∴△AOC∽△COB， ∴.∴＝，∴AO＝1，

∴點A的坐標為（－1，0）．

(2)∵拋物線y＝ax2＋bx＋；經過A、B兩點，

∴，解得：， ∴拋物線的解析式為y＝－x2＋x＋；

(3)由題意知，△DMH為直角三角形，且∠M＝30°，當MD取得最大值時，△DMH的周長最大．

設M(x，－x2＋x＋)， D(x，－x＋)， 則MD＝(－x2＋x＋)－(－x＋)，

即：MD＝－x2＋x(0＜x＜3)， MD＝－ (x－)2＋，

∴當x＝時，MD有最大值，

∴△DMH周長的最大值為＋×＋×＝．