Question

設拋物線y=ax²+bx-2與x軸交于兩個不同的點A（-1，0）、B（m，0），與y軸交于點C．且∠ACB=90°．
（1）求m的值和拋物線的解析式；
（2）已知點D（1，n）在拋物線上，過點A的直線y=x+1交拋物線于另一點E．若點P在x軸上，以點P、B、D為頂點的三角形與△AEB相似，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線的解析式可知C點坐標為（0，-2），即OC=2，由于∠ACB=90度，根據射影定理OC²=OA•OB，可求出OB的長，進而可求出B點的坐標，也就求出了m的值，然后將A、B的坐標代入拋物線中即可求出其解析式．
（2）可先根據拋物線的解析式和直線AE的解析式求出E點和D點的坐標，經過求解不難得出∠EAB=∠DBO=45°，因此本題要分兩種情況進行討論：
①∠DPB=∠ABE；②∠PDB=∠ABE．
可根據對應的相似三角形得出的成比例線段求出OP的長，進而可求出P點的坐標．

解答：解：（1）令x=0，得y=-2，
∴C（0，-2），
∵∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴△AOC∽△COB，
∴OA•OB=OC²，
∴OB=

OC2

OA

=

22

1

=4，
∴m=4，
將A（-1，0），B（4，0）代入y=ax²+bx-2，
得

a= 1 2 b=- 3 2

，
∴拋物線的解析式為y=

1

2

x²-

3

2

x-2．

（2）D（1，n）代入y=

1

2

x²-

3

2

x-2，得n=-3，∴D（1，-3）．
解方程組

y= 1 2 x2- 3 2 x-2 y=x+1

，
得

x1=-1 y1=0

x2=6 y2=7

．
∴E（6，7）．
過E作EH⊥x軸于H，則H（6，0）．
∴AH=EH=7，
∴∠EAH=45°．
過D作DF⊥x軸于F，則F（1，0）．
∴BF=DF=3，
∴∠DBF=45°，
∴∠EAH=∠DBF=45°，
∴∠DBH=135°，
∵90°＜∠EBA＜135°，
則點P只能在點B的左側，有以下兩種情況：
①若△DBP₁∽△EAB，則

BP1

AB

=

BD

AE

，
∴BP₁=

AB•BD

AE

=

5×3 2

7 2

=

15

7

，
∴OP₁=4-

15

7

=

13

7

，
∴P₁（

13

7

，0）．
②若△DBP₂∽△BAE，則

BP2

AE

=

BD

AB

，
∴BP₂=

AE•BD

AB

=

7 2 ×3 2

5

=

42

5

，
∴OP₂=

42

5

-4=

22

5

，
∴P₂（-

22

5

，0）．
綜合①、②，得點P的坐標為：P₁（

13

7

，0）或P₂（-

22

5

，0）．

點評：本題考查二次函數解析式的確定、函數圖象交點、三角形相似以及綜合應用知識、解決問題的能力．本題是一道應用能力較強的題，比較好．