Question

（2012•鎮江模擬）某商場試銷一種成本為每件60元的服裝，規定試銷期間銷售單價不低于成本單價，且獲利不得高于45%，經試銷發現，銷售量y（件）與銷售單價x（元）符合一次函數關系：

x	…	60	65	70	75	80	…
y	…	60	55	50	45	40	…

（1）求銷售量y與銷售單價x的函數關系式；
（2）若該商場獲得利潤為W元，試寫出利潤W與銷售單價x之間的關系式；并求出銷售單價定為多少元時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是多少元？
（3）若該商場獲得利潤不低于500元，試確定銷售單價的范圍．

Answer 1

分析：（1）先利用待定系數法求出銷售量y與銷售單價x的函數關系式y=-x+120；由于成本為每件60元的服裝，規定試銷期間銷售單價不低于成本單價，且獲利不得高于45%，可得到x的取值范圍為60≤x≤87；
（2）根據總利潤等于每一件的利潤乘以銷售總量得到W=（x-60）•y，把y=-x+120代入得到W=（x-60）（-x+120）=-x²+180x-7200（60≤x≤87）；然后配成頂點式為W=-（x-90）²+900，根據二次函數的性質得到當x＜90時，W隨x的增大而增大，則x=87時，W有最大值，其最大值=-（87-90）²+900=891；
（3）令W=500，則-（x-90）²+900=500，解得x₁=70，x₂=110，而當x＜90時，W隨x的增大而增大，即可得到當銷售單價的范圍為70（元）≤x≤87（元）時，該商場獲得利潤不低于500元．

解答：解：（1）設售量y（件）與銷售單價x（元）的一次函數關系為y=kx+b（k≠0），
把（60，60）、（80，40）代入，
得

60k+b=60 80k+b=40

，
解得

k=-1 b=120

，
∴銷售量y與銷售單價x的函數關系式y=-x+120；
∵成本為每件60元的服裝，規定試銷期間銷售單價不低于成本單價，且獲利不得高于45%，即不高于60（1+45%），
∴60≤x≤87；
（2）W=（x-60）•y
=（x-60）（-x+120）
=-x²+180x-7200（60≤x≤87）；
W=-（x-90）²+900，
∵a=-1＜0，
∴當x＜90時，W隨x的增大而增大，
∴x=87時，W有最大值，其最大值=-（87-90）²+900=891，
即銷售單價定為87元時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是891元；

（3）令W=500，則-（x-90）²+900=500，解得x₁=70，x₂=110，
∵當x＜90時，W隨x的增大而增大，
∴當銷售單價的范圍為70（元）≤x≤87（元）時，該商場獲得利潤不低于500元．

點評：本題考查了二次函數的應用：先根據實際問題得到二次函數的解析式y=ax²+bx+c（a≠0），再得到頂點式y=a（x+

b

2a

）²+

4ac-b2

4a

，當a＜0，二次函數有最大值，即x=-

b

2a

時，y的最大值為

4ac-b2

4a

，然后利用二次函數的性質解決有關問題．也考查了待定系數法求函數的解析式以及一次函數的應用．