Question

已知：如圖，圓內接四邊形ABCD的兩邊AB，DC的延長線相交于點E，DF經過⊙O的圓心，交AB于點F，AB=BE，連接AC，且OD=3，FA=FB=．
（1）求證：△DAC∽△DEA；
（2）求出DA，AC的長度．

Answer 1

解：（1）∵DF過圓心，且AF=BF，
∴DF⊥AB，=，
∴∠ACD=∠EAD，又∠ADC=∠EDA，
∴△DAC∽△DEA；

（2）連接OA，如圖所示：
∵DF⊥AB，
∴∠AFD=∠DFE=90°，
在Rt△AOF中，OA=OD=3，AF=，
根據勾股定理得：OF==2，
∴DF=OD+OF=3+2=5，
在Rt△ADF中，AF=，DF=5，
根據勾股定理得：AD==，
又EF=FB+BE=FB+AB=3，
在Rt△DEF中，根據勾股定理得：DE==，
∴AE=AF+EF=4，
∵△DAC∽△DEA，
∴=，即=，
則AC=．
分析：（1）由DF過圓心，且AF=BF，利用垂徑定理的逆定理得到DF垂直于AB，且D為優弧ADB的中點，得到兩條弧相等，根據等弧所對的圓周角相等可得出一對角相等，再由一對公共角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得出三角形DAC與三角形DEA相似；
（2）連接OA，由第一問得出DF與AB垂直，得到三角形AOF為直角三角形，根據OA及AF的長，利用勾股定理求出OF的長，再由DF=OD+OF求出DF的長，在直角三角形ADF中，由AF及DF的長，利用勾股定理即可求出AD的長；由AB=BE=2AF=2BF，根據FB的長求出EF的長，在直角三角形DEF中，由DF及EF的長，利用勾股定理求出DE的長，同時根據AF+EF=AE求出AE的長，由第一問的相似三角形，根據相似的性質得出比例式，將各自的值代入即可求出AC的長．
點評：此題考查了垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，以及相似三角形的判定與性質，垂徑定理的內容為：垂直于弦的直徑平分于弦，且平分弦所對的弧，熟練掌握定理是解本題的關鍵．