Question

【題目】2015廣州）如圖，AC是⊙O的直徑，點B在⊙O上，∠ACB=30°

（1）利用尺規作∠ABC的平分線BD，交AC于點E，交⊙O于點D，連接CD（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）在（1）所作的圖形中，求△ABE與△CDE的面積之比．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖所示；

（2）

解：如圖2，

連接OD，設⊙O的半徑為r，

∵∠BAE=∠CDE，

∠AEB=∠DEC，

∴△ABE∽△DCE，

在Rt△ACB中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，

∴AB=AC=r，

∵∠ABD=∠ACD=45°，

∵OD=OC，

∴∠ABD=∠ACD=45°，

∴∠DOC=90°，

在Rt△ODC中，DC==r，

∴===．

【解析】（1）①以點B為圓心，以任意長為半徑畫弧，兩弧交角ABC兩邊于點M，N；②分別以點M，N為圓心，以大于MN的長度為半徑畫弧，兩弧交于一點；③作射線BE交AC與E，交⊙O于點D，則線段BD為△ABC的角平分線；
（2）連接OD，設⊙O的半徑為r，證得△ABE∽△DCE，在Rt△ACB中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，得到AB=AC=r，推出△ADC是等腰直角三角形，在Rt△ODC中，求得DC==r，于是問題可得．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用圓周角定理的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．