Question

【題目】（I）圓中最長的弦是________；

（Ⅱ）如圖①，AB 是⊙O 的弦，AB=8，點 C 是⊙O 上的一個動點，且∠ACB=45°， 若點 M、N 分別是 AB、AC 的中點，則 MN 長度的最大值是___；

（Ⅲ）如圖②，△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=4，D 是邊 BC 上的一個動點，以 AD 為直徑畫⊙O，分別交 AB、AC 于點 E、F，連接 EF，則線段 EF 長度的最小值為_____．

Answer 1

【答案】直徑 4

【解析】

（Ⅰ）根據直徑是圓中最長的弦解答即可；

（Ⅱ）根據中位線定理得到 MN 的長最大時，BC 最大，當 BC 最大時是直徑，從而求得直徑后就可以求得最大值．

（Ⅲ）由垂線段的性質可知，當 AD 為△ABC 的邊 BC 上的高時，直徑 AD 最短， 此時線段 EF=2EH=20Esin∠EOH=20Esin60°，因此當半徑 OE 最短時，EF 最短，連接OE，OF，過 O 點作 OH⊥EF，垂足為 H，在 Rt△ADB 中，解直角三角

形求直徑 AD，由圓周角定理可知∠EOH= ∠EOF=∠BAC=60°，在 Rt△EOH 中，

解直角三角形求 EH，由垂徑定理可知 EF=2EH．

解：（Ⅰ）直徑是圓中最長的弦，故答案為：直徑；

（Ⅱ）如圖 1，∵點 M，N 分別是 AB，AC 的中點，

∴MN=BC，

∴當 BC 取得最大值時，MN 就取得最大值，當 BC 是直徑時，BC 最大， 連接 BO 并延長交⊙O 于點 C′，連接 AC′，

∵BC′是⊙O 的直徑，

∴∠BAC′=90°．

∵∠ACB=45°，AB=8，

∴∠AC′B=45°，

∴BC′= ==8，

∴MN 最大=4． 故答案為：4；

（Ⅲ）由垂線段的性質可知，當 AD 為△ABC 的邊 BC 上的高時，直徑 AD 最短，

如圖 2 ，

連接 OE，OF，過 O 點作 OH⊥EF，垂足為 H，

∵在 Rt△ADB 中，∠ABC=45°，AB=4，

∴AD=BD=2，即此時圓的直徑為 2，

由圓周角定理可知∠EOH= ∠EOF=∠BAC=60°，

∴在 Rt△EOH 中，EH=OEsin∠EOH=×=，

由垂徑定理可知 EF=2EH=． 故答案為： ．