Question

【題目】如圖，過點的拋物線的對稱軸是，點是拋物線與軸的一個交點，點在軸上，點是拋物線的頂點.

（1）求、的值；

（2）當是直角三角形時，求的面積；

（3）設點在直線下方且在拋物線上，點、在拋物線的對稱軸上（點在點的上方），且，過點作軸的平行線交直線于點，當最大時，請直接寫出四邊形的周長最小時點、、的坐標.

Answer 1

【答案】（1），（2）或，（3），，.

【解析】

（1）把點代入拋物線得，再根據對稱軸是，即可求出a、b的值；（2）設點的坐標是，根據拋物線得頂點的坐標是，點的坐標是，再根據是直角三角形分三種情況討論利用勾股定理來求出相應的m值；（3）設P點（x，），Q（x,）,求得 ，當時，最大，此時點坐標是，要使四邊形的周長最小，已求出，為定長，，故只需最小即可，

將點向下平移3個單位長度，得點，作點關于拋物線的對稱軸的對稱點，直線與對稱軸的交點就是符合條件的點，此時四邊形的周長最小，利用待定系數法確定過和點的直線，求出與二次函數對稱軸的交點即為N點，點的坐標為，故可求出點、、的坐標

解：（1）∵過點的拋物線的對稱軸是，

∴解之，得

（2）設點的坐標是.由（1）可得拋物線，

∴拋物線的頂點的坐標是，點的坐標是.

當時，有.

∴，解之，得，

∴；

當時，有.

∴，解之，得，

∴；

當時，有.

∴，此方程無解.

綜上所述，當為直角三角形時，的面積是或.

（3）設直線過點，可得直線.

由（1）可得拋物線，設P點（x，），Q（x,）

∴ ，

∴當時，最大，此時點坐標是.

∴最大時，線段為定長.

∵，∴要使四邊形的周長最小，只需最小.

將點向下平移3個單位長度，得點，作點關于拋物線的對稱軸的對稱點，直線與對稱軸的交點就是符合條件的點，此時四邊形的周長最小.

設直線過點和點，則解之，得

∴直線過點和點.

解方程組得

∴點的坐標為，∴點的坐標為，

所以點、、的坐標分別為，，.