Question

已知一次函數y₁=2x，二次函數y₂=mx²-3（m-1）x+2m-1的圖象關于y軸對稱，y₂的頂點為A．
（1）求二次函數y₂的解析式；
（2）將y₂左右平移得到y₃交y₂于P點，過P點作直線l∥x軸交y₃于點M，若△PAM為等腰三角形，求P點坐標；
（3）是否存在二次函數y₄=ax²+bx+c，其圖象經過點（-5，2），且對于任意一個實數x，這三個函數所對應的函數值y₁、y₂、y₄都有y₁≤y₄≤y₂成立？若存在，求出函數y₄的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：由題意二次函數關于y軸對稱，則
解得：m≠0，則m=1
∴二次函數的解析式為：y₂=x²+1．

（2）二次函數的解析式為：y₂=x²+1．求得點A（0，1）如圖
設點p（x，x²+1），則點M（3x，x²+1）
∵△PAM為等腰三角形，
∴從圖中可知：Rt△OAM中，AM為斜邊，AM＞OM，只有AP=PM，
則AP=PM

x⁴-3x²=0
x²（x²-3）=0
解得x=0，x=
當x=0時，P（0，1）與點A重合，舍去；
當x=時，P（，4），則y₂向右移動得到；
當x=-時，P（-，4）則y₂向左移動得到．

（3）存在，
由題意知，當x=1時，y₁=y₂=2，即y₁、y₂的圖象都經過（1，2）；
∵對應x的同一個值，y₂≥y₄≥y₁成立，
∴y₄=ax²+bx+c的圖象必經過（1，2），
又∵y₄=ax²+bx+c經過（-5，2），
∴
解得：，
y₄=ax²+4ax-5a+2；
設y=y₄-y₁=ax²+4ax-5a+2-2x=ax²+（4a-2）x+（2-5a）；
對于x的同一個值，這三個函數對應的函數值y₂≥y₄≥y₁成立，
∴y₄-y₁≥0，
∴y=ax²+（4a-2）x+（2-5a）≥0；
∵a＞0，
∴（4a-2）²-4a（2-5a）≤0，即（3a-1）²≤0，
而（3a-1）²≥0，故a=
∴拋物線的解析式為：y=x²+x-．
分析：（1）利用公式：二次函數y=ax²+bx+c的對稱軸為x=-，頂點坐標為（-，）即可求解，則該二次函數關于y軸對稱，對稱軸等于0而解得；
（2）根據y₂解析式設點P坐標，從而得到點M的坐標，先三角形的三邊關系判斷AM不可能與其他兩邊中的一邊相等，則由AP=PM，代入點坐標求得點P坐標；
（3）易知y₁、y₂的交點為（1，2），由于y₂≥y₄≥y₁成立，即三個函數都交于（1，2），結合點（-5，2）的坐標，可用a表示出y₄的函數解析式；已知y₄≥y₁，可用作差法求解，令y=y₄-y₁，可得到y的表達式，由于y₄≥y₁，所以y≥0，可據此求出a的值，即可得到拋物線的解析式．
點評：本題考查了二次函數的綜合運用，考到了二次函數關于對稱軸對稱的幾何性質，左右移動后的圖象性質，以及根據圖象性質判斷在相同x的取值范圍上函數值具有的特點．