Question

正方形ABCD中，對角線AC、BD交于O，Q為CD上任意一點，AQ交BD于M，過M作MN⊥AM交BC于N，連AN、QN．下列結論：
①MA=MN；②∠AQD=∠AQN；③S_△AQN=

1

2

S_{五邊形ABNQD}；④QN是以A為圓心，以AB為半徑的圓的切線．
其中正確的結論有（　�。�

A．①②③④

B．只有①③④

C．只有②③④

D．只有①②

Answer 1

分析：延長CD到F，使DF=BN，連接AF，過A作AH⊥NQ于H，證A B N M四點共圓，推出∠ANM=∠NAM即可判斷①；證△ABN≌△ADF，推出AF=AN，∠FAD=∠BAN，證△NAQ≌△FAQ，
推出∠AQN=∠AQD即可判斷②；證△ADQ≌△AHQ，即可推出③；根據AH=AD=AB，AH⊥NQ，即可判斷④．

解答：解：
延長CD到F，使DF=BN，連接AF，過A作AH⊥NQ于H，
∵正方形ABCD，NM⊥AQ，
∴∠AMN=∠ABC=90°，
∴A B N M四點共圓，
∴∠NAM=∠DBC=45°，∠ANM=∠ABD=45°，
∴∠ANM=∠NAM=45°，
∴MA=MN，∴①正確；
∵正方形ABCD，
∴∠ABN=∠ADF=90°，AD=AB，
在△ABN和△ADF中
∵

AD=AB ∠ABN=∠ADF BN=DF

，
∴△ABN≌△ADF，
∴∠FAD=∠BAN，AF=AN，
∵∠NAM=∠BAC=45°，
∴∠FAQ=∠FAD+∠DAQ=45°=∠NAQ，
在△NAQ和△FAQ中
∵

AF=BN ∠FAQ=∠NAQ AQ=AQ

，
∴△NAQ≌△FAQ，
∴∠AQN=∠AQD，∴②正確；
在△ADQ和△AHQ中
∵

∠AQD=∠AQN ∠ADQ=∠AHQ=90° AQ=AQ

，
∴△ADQ≌△AHQ，
∴S_△ADQ=S_△AQH，
∴S_△NAQ=S_△FAQ=S_△FAD+S_△ADQ=

1

2

S_{五邊形ABNQD}，
∴③正確；
∵AH=AD=AB，AH⊥NQ，
∴QN是以A為圓心，以AB為半徑的圓的切線，
∴④正確．
故選A．

點評：本題考查了確定圓的條件和圓的性質，全等三角形的性質和判定，正方形的性質，切線的判定的應用，主要培養學生綜合運用性質和定理進行推理的能力，本題綜合性比較強，有一定的難度，對學生提出較高的要求．