Question

17．已知：如圖△ABC中，BM、CN是∠ABC、∠ACB的平分線，且AM⊥BM于M，AN⊥CN于N，求證：MN∥BC．

Answer 1

分析 延長AN、AM分別交BC于點D、G，根據BM為∠ABC的角平分線，AM⊥BM得出∠BAM=∠G，故△ABG為等腰三角形，所以BM也為等腰三角形的中線，即AM=GM．同理AN=DN，根據三角形中位線定理即可得出結論．

解答 證明：延長AN、AM分別交BC于點D、G．如圖所示：
∵BM為∠ABC的角平分線，
∴∠CBM=∠ABM，
∵BM⊥AG，
∴∠ABM+∠BAM=90°，∠G+∠CBM=90°，
∴∠BAM=∠G，
∴△ABG為等腰三角形，
∴BM也為等腰三角形的中線，即AM=GM．
同理AN=DN，
∴MN為△ADG的中位線，
∴MN∥BC．

點評 本題考查了等腰三角形的判定與性質、三角形中位線定理，熟知三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解答此題的關鍵．