Question

【題目】如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A（-1，0），B兩點，與y軸交于點C（0，3），點P是拋物線在第一象限上的一點，過點P作PH⊥x軸，垂足為H，交線段BC于點Q．

（1）求拋物線對應的函數表達式；

（2）當PQ=2QH時，求點P的坐標；

（3）當PH最大時，連接AP，AP與BC交于點D，點F是第一象限內一點，且∠AFC=45°，點G在拋物線上，直線FG、FC分別與直線PH交于點M、N．當三角形ABD相似三角形FMN時，求點G的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或或或．

【解析】

（1）利用待定系數法求解即可；

（2）先根據二次函數的解析式求出點B的坐標，再利用待定系數法求出直線BC的解析式，然后根據建立等式求解即可；

（3）在（2）的基礎上，先利用二次函數的性質求出點P的坐標，在利用二次函數的性質、正切函數值得出，然后根據相似三角形的性質分三種情況：①當時、②當時、③當時，先分別利用相似三角形的性質確認點F在直線PA上，再利用相似三角形的性質得出點N的坐標，從而可得直線CN的解析式，然后聯立直線PA、CN的解析式可求出點F的坐標，進而利用待定系數法可求出直線FG的解析式，最后聯立二次函數與直線FG的解析式即可得．

（1）將代入得

解得

故拋物線對應的函數表達式為；

（2）對于

當時，，解得或

則點B的坐標為

設直線BC的解析式為

將代入得，解得

則直線BC的解析式為

設，則，，且

因此有，

由得：

解得或（不符題意，舍去）

此時，

故點P的坐標為；

（3）由（2）可知，

由二次函數的性質得：當時，PH取得最大值，最大值為4

則，

設直線PA的解析式為

將，代入得，解得

則直線PA的解析式為

聯立，解得

是等腰直角三角形，

，

由兩點之間的距離公式得：

由二次函數的對稱性可知，

，

在中，

在中，

，即

根據相似三角形的性質，分以下三種情況：

①當時

則點F不可能位于第一象限，不符題意

②如圖1，當時

設AF與BC的交點為點Q

點F是第一象限內一點，且

點F在外接圓位于第一象限的弧上

由圓周角定理得：

又

則當三角形ABD相似三角形FMN時，與也相似或完全重合

與找不出兩組對應相等的角

即與不可能相似，只能是完全重合

點Q與點D重合

則點F在直線PA：上，

，即

解得

，即

設直線CN的解析式為

將，代入得：，解得

則直線CN的解析式為

聯立，解得

則

又

，即

則可設直線FG的解析式為

點代入得，解得

則直線FG的解析式為

聯立，解得

當時，

當時，

則此時點G的坐標為或

③如圖2，當時

同②可得：點F在直線PA：上，，

又

可設直線FG的解析式為

將點代入得：，解得

則直線FG的解析式為

聯立，解得

當時，

當時，

則此時點G的坐標為或

綜上，點G的坐標為或或或．