Question

6．如圖，已知A（-2，0），B（0，-4），C（1，1），點P為線段OB上一動點（不包括點O），CD⊥CP交x軸于點D，當P點運動時：
（1）求證：∠CPO=∠CDO；
（2）求證：CP=CD；
（3）下列兩個結論：①AD-BP的值不變；②AD+BP的值不變，選擇正確的結論求其值．

Answer 1

分析 （1）根據三角形內角和定理得出∠CPO+∠OKP=∠CDO+∠CKD=90°，根據∠OKP=∠CKD即可求出∠CPO=∠CDO；
（2）過C作CN⊥x軸于N，CQ⊥y軸于Q，則∠CND=∠CQP=90°，求出CQ=CN，根據AAS推出△CND≌△CQP即可；
（3）求出AN=3，BQ=5，根據全等得QP=ND，求出AD+BP=AN+QB，代入求出即可．

解答 （1）證明：∵x軸⊥y軸，CP⊥CD，
∴∠DCP=∠DOP=90°，
∴∠CPO+∠OKP=∠CDO+∠CKD=90°，
∵∠OKP=∠CKD，
∴∠CPO=∠CDO；

（2）證明：過C作CN⊥x軸于N，CQ⊥y軸于Q，

則∠CND=∠CQP=90°，
∵C（1，1），
∴CQ=CN，
在△CND和△CQP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDN=∠CPQ}\\{∠CQP=∠CND}\\{CN=CQ}\end{array}\right.$，
∴△CND≌△CQP（AAS），
∴CP=CD；

（3）解：AD+BP的值不變，
∵A（-2，0），B（0，-4），C（1，1），
∴AN=2+1=3，BQ=4+1=5，
∵△CND≌△CQP，
∴QP=ND，
∵AD+BP=AN+ND+BP=AN+QP+BP=AN+QB=3+5=8，
∴AD+BP的值不變，是8．

點評 本題考查了坐標與圖形的性質，全等三角形的性質和判定的應用，能正確作出輔助線并求出△CND≌△CQP是解此題的關鍵．