Question

如圖，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，D是半圓上的一點，過D作DH⊥AB，垂足為H，延長DH交AC于點E，交⊙O于點F，P為DF延長線上的一點．
（1）探索△PCE滿足什么條件時，PC是⊙O的切線，并加以證明．
（2）若F是劣弧的中點，求證：AD²=DF•EF．

Answer 1

（1）解：當PC=PE（或∠PCE=∠PEC）時，PC與⊙O相切．
證明：連接AF，OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵PC=PE，
∴∠ECP=∠PEC．
∵∠PEC=∠AFE+∠FAE，∠AFE+∠FAE+∠CAO=90°，
∴∠PEC+∠CAO=90°．
∵∠OCP=∠OCA+∠ECP，
∴∠OCP=90°．
當PC=PE（或∠PCE=∠PEC）時，PC與⊙O相切．

（2）證明：∵F是劣弧的中點，
∴弧FC=弧AF，∠ADF=∠FAC．
又∵∠AFE=∠AFD，
∴△AEF∽△DAF．
∴EF：AD=AF：DF．
∴AD•AF=EF•DF．
∵AB⊥DF，
∴AD=AF．
∴AD²=EF•DF．
分析：（1）要使PC是圓的切線，則應有∠ECP=∠PEC，即PC=PE；
（2）連接AF，由于AD=AF，則證△AEF∽△DAF即有AD²=EF•DF；
點評：本題利用了等邊對等角，垂徑定理，切線的判定，圓周角定理，相似三角形的判定和性質求解．