Question

【題目】如圖，銳角△ABC中，邊BC長為3，高AH長為2，矩形EFMN的邊MN在BC邊上，其余兩個頂點E，F分別在AB，AC邊上，EF交AH于點G．
（1）求的值；
（2）當EN為何值時，矩形EFMN的面積為△ABC面積的四分之一．

Answer 1

【答案】解：（1）∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∴=；
（2）設EN=x，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∴，
∴EF=3﹣x，
∵矩形EFMN的面積為△ABC面積的四分之一，
∴x（3﹣x）=××3×2，
∴x=1﹣，x=1+，
∴EN為1﹣或1+時，矩形EFMN的面積為△ABC面積的四分之一．
【解析】（1）由EF∥BC，得到△AEF∽△ABC，根據相似三角形的性質得到 ， 根據比例的性質即可得到結論；
（2）設EN=x，根據相似三角形的性質得到 ， 代入數據得到 ， 求得EF=3﹣x，根據題意列方程即可得到結論．
【考點精析】掌握矩形的性質和相似三角形的判定與性質是解答本題的根本，需要知道矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．