Question

【題目】【發現】如圖∠ACB=∠ADB=90°，那么點D在經過A，B，C三點的圓上（如圖①）

（1）【思考】如圖②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（點C，D在AB的同側），那么點D還在經過A，B，C三點的圓上嗎？
請證明點D也不在⊙O內．
（2）【應用】
利用【發現】和【思考】中的結論解決問題：
若四邊形ABCD中，AD∥BC，∠CAD=90°，點E在邊AB上，CE⊥DE．
（1）作∠ADF=∠AED，交CA的延長線于點F（如圖④），求證：DF為Rt△ACD的外接圓的切線；

（2）如圖⑤，點G在BC的延長線上，∠BGE=∠BAC，已知sin∠AED=，AD=1，求DG的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：【思考】如圖1，

假設點D在⊙O內，延長AD交⊙O于點E，連接BE，則∠AEB=∠ACB，

∵∠ADE是△BDE的外角，

∴∠ADB＞∠AEB，

∴∠ADB＞∠ACB，

因此，∠ADB＞∠ACB這與條件∠ACB=∠ADB矛盾，

所以點D也不在⊙O內，

所以點D即不在⊙O內，也不在⊙O外，點D在⊙O上

（2）

【應用】

（1）如圖2，取CD的中點O，則點O是RT△ACD的外心，

∵∠CAD=∠DEC=90°，

∴點E在⊙O上，

∴∠ACD=∠AED，

∵∠FDA=∠AED，

∴∠ACD=∠FDA，

∵∠DAC=90°，

∴∠ACD+∠ADC=90°，

∴∠FDA+∠ADC=90°，

∴OD⊥DF，

∴DF為Rt△ACD的外接圓的切線；

（2）∵∠BGE=∠BAC，

∴點G在過C、A、E三點的圓上，如圖3，

又∵過C、A、E三點的圓是RT△ACD的外接圓，即⊙O，

∴點G在⊙O上，

∵CD是直徑，

∴∠DGC=90°，

∵AD∥BC，

∴∠ADG=90°

∵∠DAC=90°

∴四邊形ACGD是矩形，

∴DG=AC，

∵sin∠AED=，∠ACD=∠AED，

∴sin∠ACD=，

在RT△ACD中，AD=1，

∴CD=，

∴AC==，

∴DG=．

【解析】【思考】假設點D在⊙O內，利用圓周角定理及三角形外角的性質，可證得與條件相矛盾的結論，從而證得點D不在⊙O內；
【應用】（1）作出RT△ACD的外接圓，由發現可得點E在⊙O上，則證得∠ACD=∠FDA，又因為∠ACD+∠ADC=90°，于是有∠FDA+∠ADC=90°，即可證得DF是圓的切線；
（2）根據【發現】和【思考】可得點G在過C、A、E三點的圓O上，進而易證四邊形ACGD是矩形，根據已知條件解直角三角形ACD可得AC的長，即DG的長．