Question

如圖，已知△ABC的三個頂點坐標分別為A（-4，0），B（1，0），C（-2，6）.

（1）求經過點A，B，C三點的拋物線解析式．
（2）設直線BC交y軸于點E，連結AE，求證：AE=CE；
（3）設拋物線與y軸交于點D，連結AD交BC于點F，求證：以A，B，F為頂點的三角形與△ABC相似，并求：．

Answer 1

（1）；（2）證明見試題解析；（3）證明見試題解析，．

試題分析：（1）利用待定系數發求解即可得出拋物線的解析式；
（2）求出直線BC的函數解析式，從而得出點E的坐標，然后分別求出AE及CE的長度即可證明出結論；
（3）求出AD的函數解析式，然后結合直線BC的解析式可得出點F的坐標，由題意得∠ABF=∠CBA，然后判斷出是否等于即可作出判斷．
試題解析：（1）設函數解析式為：，由函數經過點A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6），
可得，解得：，故經過A、B、C三點的拋物線解析式為：；
（2）設直線BC的函數解析式為y=kx+b，由題意得：，解得：，即直線BC的解析式為．故可得點E的坐標為（0，2），從而可得：AE=，CE=，故可得出AE=CE；
（3）相似．理由如下：設直線AD的解析式為y=kx+b，則，解得：，即直線AD的解析式為．聯立直線AD與直線BC的函數解析式可得：，解得：，即點F的坐標為（，），則BF=，又∵AB=5，BC=，∴，，∴，又∵∠ABF=∠CBA，∴△ABF∽△CBA．故以A、B、F為頂點的三角形與△ABC相似，=．