Question

已知：點A、B分別是直線m、n上兩點，在直線n上找一點C，使BC=AB，連接AC，在線段AC上取一點E，作∠BEF=∠ABC，EF交直線m于點F．
（1）當∠ABC=60°時（如圖1），求證：AE+AF=BC；
（2）當∠ABC=90°時（如圖2），則AE、AF、BC之間的數量關系是______；
（3）當∠ABC=120°時（如圖3），設EF與AB交于點M，若AC=4，AF=1，求EM的長．

Answer 1

解：（1）在AB上截取AG=AF，則△AFG是等邊三角形，連接FG、FB（如圖1）；
∵∠BAF=∠BEF=60°，
∴A、F、B、E四點共圓，
∴∠AEF=∠ABF（即∠GBF）；
又∵AF=GF，∠EAF=∠FGB=180°-60°=120°，
在△EAF與△BGF中，
∵，
∴△EAF≌△BGF，
∴AE=BG，故AF+AE=AB=BC．

（2）在AB上截取AG=AF，連接FG，則△AFG是等腰直角三角形，連接FB（如圖2）；
同（1）可證得△EAF∽△BGF，
得：BG：AE=FG：AF=，即BG=AE；
∴BC=AB=AG+BG=AF+AE．

（3）在AB上截取AG=AF，連接FG，則△AFG是等腰三角形，且∠AFG=∠AGF=30°，連接FB（如圖3）；
同（1）（2）可證得：BC=AF+AE，即AE=；
在等腰△AFG中，AF=AG=1，∠FAG=120°，易求得FG=；
∵∠EAM=∠FGA=30°，∠AME=∠FMG，AE=FG=，
∴△AME≌△GMF，得AM=MG=，ME=MF；
同（1）（2）可知：A、F、B、E四點共圓，由相交弦定理得：
ME•MF=AM•BM，即ME²=AM•BM=×（4-）=，解得ME=．

分析：（1）連接BF，在AB上截取AF=AG，連接FG，則△FAG是等邊三角形，得AF=FG，∠EAF=∠FGB=120°；由于∠FAB=∠BEF=∠ABC，所以E、A、F、B四點共圓，由圓周角定理得求得∠AEF=∠GBF，即可證得△AEF≌△GBF，由此可得AE=BG，即可證得所求的結論．
（2）思路和輔助線作法同（1），只不過全等換成了相似，相似比由1：1變為了：1，因此結論應該是BC=AE+AF．
（3）輔助線作法同（1），參照（1）（2）的求解過程，可推出BC=AF+AE，進而可根據BC、AF的長得到AE的值；在Rt△AFE中，易求得FG=AE=，那么可證得△AEM≌△GFM，即可得到AM=MG，且ME=FM，因此只需求得FM即可．由（1）（2）的解答過程可知A、F、B、E四點共圓，在這個圓中，利用相交弦定理即可求得ME的值．
點評：此題主要考查了相似三角形及全等三角形的判定和性質、確定圓的條件以及相交弦定理等知識，綜合性強難度較大．