Question

（2012•濰坊）許多家庭以燃氣作為燒水做飯的燃料，節約用氣是我們日常生活中非�，F實的問題．某款燃氣灶旋轉位置從0度到90度（如圖），燃氣關閉時，燃氣灶旋轉的位置為0度，旋轉角度越大，燃氣流量越大，燃氣開到最大時，旋轉角度為90度．為測試燃氣灶旋轉在不同位置上的燃氣用量，在相同條件下，選擇燃氣灶旋鈕的5個不同位置上分別燒開一壺水（當旋鈕角度太小時，其火力不能夠將水燒開，故選擇旋鈕角度x度的范圍是18≤x≤90），記錄相關數據得到下表：

旋鈕角度（度）	20	50	70	80	90
所用燃氣量（升）	73	67	83	97	115

（1）請你從所學習過的一次函數、反比例函數和二次函數中確定哪種函數能表示所用燃氣量y升與旋鈕角度x度的變化規律？說明確定是這種函數而不是其它函數的理由，并求出它的解析式；
（2）當旋鈕角度為多少時，燒開一壺水所用燃氣量最少？最少是多少？
（3）某家庭使用此款燃氣灶，以前習慣把燃氣開到最大，現采用最節省燃氣的旋鈕角度，每月平均能節約燃氣10立方米，求該家庭以前每月的平均燃氣量．

Answer 1

分析：（1）先假設函數為一次函數，任選兩點求出函數解析式，再將各點代入驗證；再假設函數為二次函數，任選三求出函數解析式，再將各點代入驗證
（2）將（1）所求二次函數解析式，化為頂點式，轉化為二次函數最值的問題，即可解答．
（3）由（2）及表格知，采用最節省燃氣的旋鈕角度40度比把燃氣開到最大時燒開一壺水節約用氣115-65=50，再設該家庭以前每月平均用氣量為a立方米，據此解答即可．

解答：解：（1）若設y=kx+b（k≠0），
由

73=20k+b 67=50k+b

，
解得

k=- 1 5 b=77

，
所以y=-

1

5

x+77，把x=70代入得y=63≠83，所以不符合；
若設y=

k

x

（k≠0），由73=

k

20

，解得k=1460，
所以y=

1460

x

，把x=50代入得y=29.2≠67，所以不符合；
若設y=ax²+bx+c，
則由

73=400a+20b+c 67=2500a+50b+c 83=4900a+70b+c

，
解得

a= 1 50 b=- 8 5 c=97

，
所以y=

1

50

x²-

8

5

x+97（18≤x≤90），
把x=80代入得y=97，把x=90代入得y=115，符合題意．
所以二次函數能表示所用燃氣量y升與旋鈕角度x度的變化規律；

（2）由（1）得：y=

1

50

x²-

8

5

x+97=

1

50

（x-40）²+65，
所以當x=40時，y取得最小值65．
即當旋鈕角度為40°時，燒開一壺水所用燃氣量最少，最少為65升；

（3）由（2）及表格知，采用最節省燃氣的旋鈕角度40度比把燃氣開到最大時燒開一壺水節約用氣115-65=50（升）
設該家庭以前每月平均用氣量為a立方米，則由題意得：

50

115

a=10，
解得a=23（立方米），
即該家庭以前每月平均用氣量為23立方米．

點評：本題考查了待定系數法求二次函數解析式、二次函數求最值等問題，綜合性較強，需要有較高的思維能力，關鍵是探索出函數的解析式．