Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，直線1分別交軸、軸于、兩點，點的坐標為，，過點的直線與軸交于點．

(1)求直線的解析式及點的坐標．

(2) 點在軸上從點向點以每秒1個單位長的速度運動()，過點分別作，， 交、于點、，連接，點為的中點．

①判斷四邊形的形狀并證明；

②求出t為何值時線段DG的長最短．

(3)點是軸上的點，在坐標平面內是否存在點，使以、、、為項點的四邊形是菱形?若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①矩形；證明見解析②時，DG的長最短（3）存在；，，，，

【解析】

（1）根據有一個角為30°的直角三角形的性質，求出OB，再利用待定系數法即可求解；
（2）①根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形，判斷出四邊形DEBF是矩形；②利用點到直線的距離中垂線短最短即可；
（3）設出點P（0，m）的坐標，先利用平行四邊形的性質作出圖形，求出點Q的坐標，再利用菱形的四邊相等求出m即可．

（1）∵，

∴

又根據題意，

∴，

∴

設解析式為

代入，

得

∴的解析式：

∵在直線上，

∴，

∴：，

∵點C在x軸上，

∴

（2）如圖：

①∵，，OA=1，

∴，（勾股定理），

∴，

∴，

又∵，，

∴四邊形是平行四邊形（兩組對邊分別平行），

∴四邊形為矩形（有一個角是90°的平行四邊形是矩形），

②∵四邊形為矩形

∴（矩形對角線相等），

又因為為中點，

∴，即G為矩形對角線的交點，

要使DG最短，也就是DB最短，

∴只有BD⊥AC時，BD最短，

∴CD=3，

∴

（3）如圖2，在坐標平面內是存在點Q，使以A、B、P、Q為頂點的四邊形是菱形，證明如下：

設，，

∴直線AB的解析式為：，

作a∥BP，則直線a的解析式為：x=1，

作b∥AP，則直線b的解析式為：，

作c∥BA，則直線c的解析式為：，

以、、、為頂點的四邊形為菱形，則為等腰三角形

①以AB為對角線時，有，

∴，

∵四邊形是菱形，

∴，即：，

∴，

∴，

∴；

② 以AB為邊時，

情況1：AP為對角線時，

∵，，

∴或，

∵AB的解析式為：，

AP的解析式為：或者，

∵四邊形APQB是菱形，

∴點Q過點A且PQ∥y軸的直線上，

∴或者，

情況2：以BP為對角線時，

∵

此時，

故存在4點，，，，；