Question

在平面直角坐標系xOy中，O是坐標原點，等邊三角形OAB的一個頂點為A（2，0），另一個頂點B在第一象限內。
（1）求經過O、A、B三點的拋物線的解析式；
（2）如果一個四邊形是以它的一條對角線為對稱軸的軸對稱圖形，那么我們稱這樣的四邊形為“箏形”。點Q在（1）的拋物線上，且以O、A、B、Q為頂點的四邊形是“箏形，求點Q的坐標；
（3）設△OAB的外接圓⊙M，試判斷（2）中的點Q與⊙M的位置關系，并通過計算說明理由。

Answer 1

解：（1）過B作BC⊥x軸于C， ∵等邊三角形OAB的一個頂點為A（2，0）， ∴OB=OA=2，AC=OC=1，∠BOC=60°， ∴BC=， ∴B， 設經過O、A、B三點的拋物線的解析式為： 將A（2，0）代入得：， 解得， ∴經過O、A、B三點的拋物線的解析式為 即；
（2）依題意分為三種情況： （�。┊斠設A、OB為邊時， ∵OA=OB， ∴過O作OQ⊥AB交拋物線于Q， 則四邊形OAQB是箏形，且∠QOA=30°， 作QD⊥x軸于D，QD=OD， 設Q，則， 解得：， ∴Q； （ⅱ）當以OA、AB為邊時，由對稱性可知Q； （ⅲ）當以OB、AB為邊時，拋物線上不存在這樣的點Q使BOQA為箏形， ∴Q或；
（3）點Q在⊙M內， 由等邊三角形性質可知的外接圓圓心M是（2）中BC與OQ的交點， 當Q時， ∵MC∥QD， ∴△OMC∽△OQD， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∵， ∴Q在內， 當Q時，由對稱性可知點Q在內， 綜述，點Q在內。