Question

【題目】如圖，已知拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，該拋物線頂點為D，對稱軸交x軸于點H．

（1）求A，B兩點的坐標；

（2）設點P在x軸下方的拋物線上，當∠ABP=∠CDB時，求出點P的坐標；

（3）以OB為邊最第四象限內作等邊△OBM．設點E為x軸的正半軸上一動點（OE＞OH），連接ME，把線段ME繞點M順時針旋轉60°得MF，求線段DF的長的最小值．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0）；（2）P（2，﹣3）；（3）線段DF的長的最小值存在，最小值是2+．

【解析】試題分析：（1）令y=0，求得關于x的方程x2﹣2x﹣3=0的解即為點A、B的橫坐標；

（2）設P（x，x2﹣2x﹣3），根據拋物線解析式求得點D的坐標為D（1，﹣4）；結合坐標與圖形的性質求得線段CD=，CB=3，BD=2；所以根據勾股定理的逆定理推知∠BCD=90°，則易推知相似三角形△BCD∽△PNB，由該相似三角形的對應邊成比例來求x的值，易得點P的坐標；

（3）正確做出等邊△OBM和線段ME所對應的旋轉線段MF，如圖2．過點B，F作直線交對稱軸于點G．構建全等三角形：△EOM≌△FBM，由該全等三角形的性質和圖形中相關角間的和差關系得到：

∠OBF=120°為定值，即BF所在直線為定直線．過D點作DK⊥BF，K為垂足線段DF的長的最小值即為DK的長度．

解：（1）令y=0，得x2﹣2x﹣3=0，

解得x1=﹣1，x2=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0）

（2）設P（x，x2﹣2x﹣3），

如圖1，過點P作PN⊥x軸，垂足為N．

連接BP，設∠NBP=∠CDB．

令x=0，得y=x2﹣2x﹣3=﹣3，

∴C（0，﹣3）

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴D（1，﹣4）．

由勾股定理，得CD=，CB=3，BD=2．

∴BD2=BC2+CD2，

∴∠BCD=90°．

∵∠BCD=∠PNB=90°，∠NBP=∠CDB．

∴△BCD∽△PNB．

∴=，

=，即x2﹣5x+6=0，

解得x1=2，x2=3（不合題意，舍去）．

∴當x=2時，y=﹣3

∴P（2，﹣3）；

（3）正確做出等邊△OBM和線段ME所對應的旋轉線段MF，如圖2．

過點B，F作直線交對稱軸于點G．

由題意可得：

，

∴△EOM≌△FBM，

∴∠MBF=∠MOB=60°．

∵∠OBF=∠OBM+∠MBF=60°+60°=120°為定值，

∴BF所在直線為定直線．

過D點作DK⊥BF，K為垂足．

在Rt△BGH中，∠HBG=180°﹣120°=60°，

∴∠HGB=30°．

∵HB=3，

∴BG=4，HG=2．

∵D（1，﹣4），

∴DH=4，

∴DG=2+4．

在Rt△DGK中，∠DGK=30°．

∴DK=DG=2+．

∵當點E與點H重合時，這時BF=OH=1，

則GF=4+1=5．

而GK=DK=3+2＞5，即點K在點F運動的路徑上，

所以線段DF的長的最小值存在，最小值是2+．