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我們知道命題“在直角三角形中，如果有一個內角為30°，那么這個30°的內角所對的直角邊等于斜邊的一半．”是真命題．
（1）請寫出上面命題的逆命題：在直角三角形中，如果______，那么______．
（2）你寫出的逆命題是真命題嗎？如果是，請寫出證明過程，如若不是，請舉出反例．（書寫證明過程前，要結合圖形寫出已知、求證；若是舉反例，也要結合反例圖作出說明）

解：（1）原命題的逆命題為：在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的內角等于30°；
故答案為有一條直角邊等于斜邊的一半，這條直角邊所對的內角等于30°；

（2）逆命題是真命題．
已知：在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AB，如圖，
求證：∠A=30°．
證明：取AB的中點D，連結DC，
則DC=DB=DA，
∵BC=AB，
∴DB=DC=BC，
∴△BDC為等邊三角形，
∴∠B=60°，
∴∠A=90°-60°=30°．
分析：（1）把原命題的題設與結論互換即可得到它的逆命題；
（2）先寫出已知、求證，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可證明逆命題是真命題．
點評：本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題；經過推理論證的真命題稱為定理．也考查了逆命題．
練習冊系列答案
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科目：初中數學 來源： 題型：

我們知道命題“在直角三角形中，如果有一個內角為30°，那么這個30°的內角所對的直角邊等于斜邊的一半．”是真命題．
（1）請寫出上面命題的逆命題：在直角三角形中，如果
有一條直角邊等于斜邊的一半，
有一條直角邊等于斜邊的一半，
，那么
這條直角邊所對的內角等于30°
這條直角邊所對的內角等于30°
．
（2）你寫出的逆命題是真命題嗎？如果是，請寫出證明過程，如若不是，請舉出反例．（書寫證明過程前，要結合圖形寫出已知、求證；若是舉反例，也要結合反例圖作出說明）

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科目：初中數學 來源： 題型：

學習了勾股定理的逆定理，我們知道：在一個三角形中，如果兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形為直角三角形．類似地，我們定義：對于任意的三角形，設其三個角的度數分別為x°、y°和z°，若滿足x2+y2=z2，則稱這個三角形為勾股三角形．
（1）根據“勾股三角形”的定義，請你直接判斷命題：“直角三角形是勾股三角形”是真命題還是假命題？
（2）已知某一勾股三角形的三個內角的度數從小到大依次為x°、y°和z°，且xy=2160，求x+y的值；
（3）如圖，△ABC內接于⊙O，AB=
6
，AC=1+
3
，BC=2，⊙O的直徑BE交AC于點D．
①求證：△ABC是勾股三角形；
②求DE的長．

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科目：初中數學 來源： 題型：

操作探究：
我們知道一個三角形中有三條高線和三條中線．如圖1，AD和AE分別是△ABC中BC邊上的高線和中線，我們規定：kA=
DE
BE′
，另外，對kB、kC作類似的規定．
（1）如圖2，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，則kA的值為
1
1
，kC的值為
1
2
1
2
；
（2）在每個小正方形邊長均為1的4×4的方格紙上（如圖3），畫一個△ABC，使其頂點在格點（格點即每個小正方形的頂點）上，且kA=2，面積也為2；
（3）判斷下面三個命題的真假（真命題打“√”，假命題的打“×”）
①若△ABC中，kA＜1，則△ABC為銳角三角形
×
×
；
②若△ABC中，kA=1，則△ABC為直角三角形
√
√
；
③若△ABC中，kA＞1，則△ABC為鈍角三角形
√
√
．

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科目：初中數學 來源： 題型：解答題

操作探究：
我們知道一個三角形中有三條高線和三條中線．如圖1，AD和AE分別是△ABC中BC邊上的高線和中線，我們規定：kA=數學公式，另外，對kB、kC作類似的規定．
（1）如圖2，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，則kA的值為______，kC的值為______；
（2）在每個小正方形邊長均為1的4×4的方格紙上（如圖3），畫一個△ABC，使其頂點在格點（格點即每個小正方形的頂點）上，且kA=2，面積也為2；
（3）判斷下面三個命題的真假（真命題打“√”，假命題的打“×”）
①若△ABC中，kA＜1，則△ABC為銳角三角形______；
②若△ABC中，kA=1，則△ABC為直角三角形______；
③若△ABC中，kA＞1，則△ABC為鈍角三角形______．

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