Question

如圖，已知四邊形ABCD是矩形，且MO=MD=4，MC=3．
（1）求直線BM的解析式；
（2）求過A、M、B三點的拋物線的解析式；
（3）在（2）中的拋物線上是否存在點P，使△PMB構成以BM為直角邊的直角三角形？若沒有，請說明理由；若有，則求出一個符合條件的P點的坐標．

Answer 1

解：（1）∵MO=MD=4，MC=3，
∴M、A、B的坐標分別為（0，4），（-4，0），（3，0）
設BM的解析式為y=kx+b；
則，
∴BM的解析式為y=-x+4．

（2）方法一：
設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c
則，
解得a=b=-，c=4
∴y=-x²-x+4
方法二：
設拋物線的解析式為y=a（x+4）（x-3）
將M（0，4）的坐標代入得a=-
∴y=-（x+4）（x-3）=-x²-x+4

（3）設拋物線上存在點P，使△PMB構成直角三角形．
①過M作MB的垂線與拋物線交于P，過P作PH⊥DC交于H，
∴∠PMB=90°，
∴∠PMH=∠MBC，
∴△MPH∽△BMC，
∴PH：HM=CM：CB=3：4
設HM=4a（a＞0），則PH=3a
∴P點的坐標為（-4a，4-3a）
將P點的坐標代入y=-x²-x+4得：
4-3a=-（-4a）²-×（-4a）+4
解得a=0（舍出），，
∴P點的坐標為（）
②或者，拋物線上存在點P，使△PMB構成直角三角形．
過M作MB的垂線與拋物線交于P，設P的坐標為（x₀，y₀），
由∠PMB=90°，∠PMD=∠MBC，
過P作PH⊥DC交于H，則MH=-x₀，PH=4-y₀
∴由tan∠PMD=tan∠MBC
得，
∴
∴，x₀=0（舍出）
∴，
∴P點的坐標為（）
類似的，如果過B作BM的垂線與拋物線交于點P，
設P的坐標為（x₀，y₀），
同樣可求得，
由=，x₀=3（舍出）
這時P的坐標為（）．
分析：（1）（2）根據MO=MD=4，MC=3就可以求出A、M、B三點的作坐標，根據待定系數法就可以求出直線BM的解析式與拋物線的解析式．
（3）過M、B作MB的垂線，它與拋物線的交點即為P點，因而符合條件的P點是存在的．當∠PMB=90°時，過P作PH⊥DC交于H，則
易證△MPH∽△BMC，得到PH：HM=CM：CB=3：4，因而可以設HM=4a（a＞0），則PH=3a，則P點的坐標為（-4a，4-3a）．
將P點的坐標代入y=-x²-x+4就可以求出a的值，進而求出P點的坐標．
點評：本題主要考查了待定系數法求函數解析式．是函數與相似三角形相結合的綜合題．