Question

如圖，已知A是半徑為1的⊙O上一點，以A為圓心，AO為半徑畫弧交⊙O于點B、C；以C為圓心，CO為半徑畫弧交⊙O于點D、A，則圖中陰影面積為

 

．

Answer 1

分析：連OA，OB，OC，OD，BA，AC，CD，則OA=OB=OC=OD=AB=AC=CD=1，得到△OBA，△OAC，△OCD都是等邊三角形，于是∠BOC=180°，得到BD為⊙O的直徑，因此S_陰影部分=S_半圓BD-S_弓形OB-S_弓形OD=S_半圓BD-2（S_扇形ABO-S_△ABO），然后根據圓、扇形和三角形的面積公式進行計算即可．

解答：解：連OA，OB，OC，OD，BA，AC，CD，如圖，
根據題意得，OA=OB=OC=OD=AB=AC=CD=1，
∴△OBA，△OAC，△OCD都是等邊三角形，
∴∠BOA=∠AOC=∠DOC=60°，
∴∠BOC=180°，
∴BD為⊙O的直徑，
∴S_陰影部分=S_半圓BD-S_弓形OB-S_弓形OD=S_半圓BD-2（S_扇形ABO-S_△ABO）=

1

2

π×1²-2×

60π×12

360

+2×

3

4

×1²=

π

6

+

3

2

．
故答案為

π

6

+

3

2

．

點評：本題考查了扇形的面積公式：S=

nπR2

360

（其中n為扇形的圓心角的度數，R為圓的半徑），或S=

1

2

lR，l為扇形的弧長，R為半徑．同時考查了等邊三角形的性質與面積公式．