Question

【題目】如圖1，等邊△ABC的邊長為4cm，動點D從點B出發，沿射線BC方向移動，以AD為邊作等邊△ADE．

（1）在點D運動的過程中，點E能否移動至直線AB上？若能，求出此時BD的長；若不能，請說明理由；

（2）如圖2，在點D從點B開始移動至點C的過程中，以等邊△ADE的邊AD、DE為邊作ADEF．

①ADEF的面積是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由；

②若點M、N、P分別為AE、AD、DE上動點，直接寫出MN+MP的最小值．

Answer 1

【答案】（1）不存在；（2）①存在，6；②3．

【解析】試題分析：（1）根據等邊三角形的性質可知： 由三角形外角的性質可知從而可知： 所以點E不能移動到直線AB上.
（2）因為△ADE的面積所以當AD最短時，△ADE的面積有最小，根據垂線段最短可知當AD⊥BC時,△ADE的面積最小.四邊形為平四邊形，AE為對角線，所以平行四邊形的面積是△ADE面積的2倍，所以△ADE的面積最小時，平行四邊形的面積最��；
（3）當點N、M、P在一條直線上，且NP⊥AD時，MN+MP有最小值，最小值為AD與EF之間的距離．

試題解析：(1)不存在.

理由：如圖1所示：

∵△ABC和△ADE均為等邊三角形，

∴

∵

∴

又∵

∴

∴點E不能移動到直線AB上.

(2)①存在：在圖(2)中，當AD⊥BC時,△ADE的面積最小.

在Rt△ADB中,

∴△ADE的面積

∵四邊形ADEF為平四邊形，AE為對角線，

∴平行四邊形ADEF的面積是△ADE面積的2倍.

∴ADEF的面積的最小值

②如圖3所示：作點P關于AE的對稱點P1，

當點N、M、P在一條直線上，且NP⊥AD時，MN+MP有最小值，

過點A作AG∥NP1，

∵AN∥GP1,AG∥NP，

∴四邊形ANP1G為平行四邊形.

∴

即MN+MP的最小值為3.