Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A坐標為(-2，0)，點B坐標為（0，2），點E為線段AB上的動點(點E不與點A，B重合)，以E為頂點作∠OET=45°，射線ET交線段OB于點F，C為y軸正半軸上一點，且OC=AB，拋物線y=x²+mx+n的圖象經過A，C兩點.

（1）求此拋物線的函數表達式；
（2）求證：∠BEF=∠AOE；
（3）當△EOF為等腰三角形時，求此時點E的坐標；
（4）在（3）的條件下，當直線EF交x軸于點D，P為（1）中拋物線上一動點，直線PE交x軸于點G，在直線EF上方的拋物線上是否存在一點P，使得△EPF的面積是△EDG面積的（）倍.若存在，請直接寫出點P坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）y=-x²-x+2；（2）證明見解析；（3）(-1， 1)，(-， 2-)；（4）P(0， 2)或P（-1，2）

試題分析：（1）首先求出點C的坐標，然后利用待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）利用三角形外角性質，易證∠BEF=∠AOE；
（3）當△EOF為等腰三角形時，有三種情況，需要分類討論，注意不要漏解；
（4）本問關鍵是利用已知條件求得點P的縱坐標，要點是將△EPF與△EDG的面積之比轉化為線段之比．如圖④所示，首先證明點E為DF的中點，然后作x軸的平行線FN，則△EDG≌△EFN，從而將△EPF與△EDG的面積之比轉化為PE：NE；過點P作x軸垂線，可依次求出線段PT、PM的長度，從而求得點P的縱坐標；最后解一元二次方程，確定點P的坐標．
試題解析：（1） 如答圖①， ∵A（-2，0）B（0，2）
∴OA="OB=2" ∴AB²=OA²+OB²=2²+2²=8∴AB=2∵OC=AB∴OC=2， 即C （0，2）
又∵拋物線y=-x²+mx+n的圖象經過A、C兩點 則可得解得：
∴拋物線的表達式為y=-x²-x+2
（2） ∵OA=OB ∠AOB=90° ∴∠BAO=∠ABO=45°
又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE
∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF ∴∠BEF=∠AOE
（3） 當△EOF為等腰三角形時，分三種情況討論
①當OE=OF時， ∠OFE=∠OEF=45°
在△EOF中， ∠EOF=180°-∠OEF-∠OFE=180°-45°-45°=90°
又∵∠AOB＝90°
則此時點E與點A重合， 不符合題意， 此種情況不成立.
②如答圖②， 當FE=FO時，
∠EOF=∠OEF=45°
在△EOF中，∠EFO=180°-∠OEF-∠EOF=180°-45°-45°=90°
∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°∴EF∥AO ∴ ∠BEF=∠BAO=45° 又∵ 由 (2) 可知 ，∠ABO=45°∴∠BEF=∠ABO ∴BF=EF∴EF=BF=OF=OB=×2＝1 ∴ E(-1， 1)
③如答圖③， 當EO=EF時， 過點E作EH⊥y軸于點H 在△AOE和△BEF中，
∠EAO=∠FBE， EO=EF， ∠AOE=∠BEF ∴△AOE≌△BEF ∴BE=AO=2
∵EH⊥OB ∴∠EHB=90°∴∠AOB=∠EHB ∴EH∥AO ∴∠BEH=∠BAO=45°
在Rt△BEH中， ∵∠BEH=∠ABO=45° ∴EH=BH=BEcos45°=2×=
∴OH="OB-BH=2-" ∴ E(-， 2-)
綜上所述， 當△EOF為等腰三角形時， 所求E點坐標為E(-1， 1)或E(-， 2- )
（4） P(0， 2)或P （-1， 2 ）

考點: 二次函數綜合題．