Question

如圖9，拋物線與軸交于A、B兩點，與軸交于點C（0，）.

（1）求拋物線的對稱軸及的值；

（2）拋物線的對稱軸上存在一點P，使得的值最小，求此時點P的坐標；

（3）點M是拋物線上的一動點，且在第三象限.

①當M點運動到何處時，△AMB的面積最大？求出△AMB的最大面積及此時點M的坐標；

②當M點運動到何處時，四邊形AMCB的面積最大？求出四邊形AMCB的最大面積及此時點M的坐標.

 

Answer 1

解：（1）拋物線的對稱軸為：直線.…………(1分)

∵拋物線過點C（0，），則，

∴.…………(2分)

（2）如圖9，

根據兩點之間線段最短可知，當P點在線段AC上就可使的值最小，

又因為P點要在對稱軸上，所以P點應為線段AC與對稱軸直線的交點.

由（1）可知，拋物線的表達式為：.

令，則，解得：，.

則點A、B的坐標分別是A（，0）、B（，0）.

設直線AC的表達式為，則

   解得：

所以直線AC的表達式為.…………(3分)

當時， ，

所以，此時點P的坐標為（，）. ………… (4分)

（3）①依題意得：

當點M運動到拋物線的頂點時，△AMB的面積最大.

由拋物線表達式可知，拋物線的頂點坐標為（，）.

∴點M的坐標為（，）. …………(5分)

△AMB的最大面積. …………(6分)

②方法一：

如圖9，過點M作軸于點H，連結、、.

點M在拋物線上，且在第三象限，設點M的坐標為（，），則

…………(7分)

.

當時，四邊形AMCB的面積最大，最大面積為.………(8分)

當時，.

∴四邊形AMCB的面積最大時，點M的坐標為（，）. (9分)

方法二：

如圖9，過點M作軸于點H，交直線AC于點N，連結、、.

點M在拋物線上，且在第三象限，設點M的坐標為（，），則

點N的坐標為（，），則.

則

…………(7分)

.

當時，四邊形AMCB的面積最大，最大面積為.………(8分)

當時，.

∴四邊形AMCB的面積最大時，點M的坐標為（，）. (9分)

解析:略