Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AD=4cm，AB=8cm，點P從點A出發沿邊上向點勻速運動，同時點從點出發沿邊上向點勻速運動，速度都是，運動時間是，交于點，點關于的對稱點是，射線分別與，交于點，．

（1）＝　　°；QF＝　　，＝　　．（用含的代數式表示）

（2）當點與點重合時, 如圖②，求的值．

（3）探究：在點，運動過程中，

①的值是否是定值？若是，請求出這個值；若不是，請說明理由．

②為何值時，以點，，為頂點的三角形與相似？

Answer 1

【答案】（1）45，2t ，；（2）t＝2；（3）①的值是定值 ， ＝；②當t＝或時，以點P，Q，E為頂點的三角形與△PMB相似.

【解析】

（1）由題意可得∠APQ=∠AQP=45°，由軸對稱的性質可得∠QPE=∠FPE=45°，即可求∠BPN，由對稱性易得QF=2AP，由△BPE∽△BAD，利用對應邊成比例可得PE；

（2）通過證明△DQF∽△DAB，可得，可求t的值；

（3）①過點M作MH⊥AB于點H，設MH=a，由等腰直角三角形可得PF=，由相似三角形的性質可得HB=2a，即可求解；

②分兩種情況討論，由相似三角形的性質可求t的值．

解：（1）如圖①，
∵四邊形ABCD是矩形
∴AB=CD，AD=BC，∠DAB=90°
∵點P，點Q速度都是1cm/s，
∴AP=AQ，
∴∠APQ=∠AQP=45°
∵PE⊥AB
∴∠APE=90°
∴∠QPE=45°
∵點Q關于PE的對稱點是F，
∴∠QPE=∠FPE=45°
∴∠BPN=180°-∠APQ-∠QPE-∠FPE=45°

設QF與PE交于點O，如圖，

易知四邊形OPAQ為正方形，

∴OQ=AP，

∵點Q關于PE的對稱點是F，

∴QF=2OQ=2AP=2t，

∵PE∥AD，

∴△BPE∽△BAD

∴，即

∴PE=

故答案為：45，2t，.

（2）如圖②，

∴QF∥AB

∴△DQF∽△DAB

∴

∴

∴t＝2.

（3）①的值是定值，

如圖③，過點M作MH⊥AB于點H，設MH＝a，

∴PM＝a

∵MH∥AD

∴△BMH∽△BDA

∴

∴

∴BH＝2a，

∴BP＝PH+BH＝3a，

∴＝

②∵AP＝t＝AQ，AB＝8

∴PB＝8﹣t，PQ＝t，

∵PE∥AD

∴△BPE∽△BAD

∴＝

由①可知：PH＝MH＝，＝

∴PM＝PB＝（8﹣t）

∵以點P，Q，E為頂點的三角形與△PMB相似，且∠QPE＝∠MPB＝45°

∴或

若時，且＝

∴

∴PM＝2PQ

∴（8﹣t）＝2t

∴t＝

若時，

∴PQPM＝PBPE，且＝

∴t×（8﹣t）＝（8﹣t）×（8﹣t）

∴t＝

綜上所述：當t＝或時，以點P，Q，E為頂點的三角形與△PMB相似.