Question

【題目】閱讀下列材料，完成（1）~（3）題：

數學課上，老師出示了這樣一道題：

如圖1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點D是BC的中點，E是AC的中點，經過點A、C作射線BE的垂線，垂足分別為點F、G，連接AG．探究線段DF和AG的關系．某學習小組的同學經過思考后，交流了自己的想法：

小明：“經過觀察和度量，發現∠ABF和∠ACG相等．”小剛：“經過觀察和度量，發現有兩條線段和AF相等．”

小偉：“通過構造全等三角形，經過進一步推理，可以得到線段DF和AG的關系．”

……

老師：“若點E不是AC的中點，其他條件不變（如圖2），可以求出的值．”

（1）求證：AF=FG；

（2）探究線段DF和AG的關系，并證明；

（3）直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2），證明見解析；（3）．

【解析】

（1）如圖1中，作AH⊥AG交BG于H．證明△ABH≌△ACG（ASA）可得結論．

（2）結論：AG=2DF，DF⊥AG．如圖2中，連接AD，DG，作DK⊥BG于K．證明△DFA≌△DFG（SSS），推出∠ADF=∠GDF，可得DF⊥AG，再證明DF=DK，AG=AF，AF=CG=2DK即可解決問題．

（3）利用（2）中結論即可解決問題．

（1）證明：過點作，交于．

∴．

∵，

∴．

∵，

∴．

又∵，，

∴．

∵，

∴．

∴．

∵，

∴．

∴．

（2）證明：作．如圖：

∵，，

∴．

∵，，

∴．

∴．

∴．

∵，

∴．

∵，

∴．

∵，，，

∴．

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

∴．

∴．

又∵，

∴．

（3）由（2）可知：CG=2DK，DF=DK，
∴．