Question

如圖，已知OA=a，P是射線ON上一動點（即P可以在射線ON上運動），∠AON=60°，填空：
（1）當OP=

a

時，△AOP為等邊三角形；
（2）當OP=

1

2

a或2a

時，△AOP為直角三角形；
（3）當OP滿足

OP＞2a或OP＜

1

2

a

時，△AOP為鈍角三角形．

Answer 1

分析：（1）由∠AON=60°，可得當OP=OA=a時，△AOP為等邊三角形；
（2）分別從若AP⊥ON與若PA⊥OA去分析求解，根據三角函數的性質，即可求得OP的長；
（3）結合（2）的結論，即可求得答案．

解答：解：（1）∵∠AON=60°，
∴當OP=OA=a時，△AOP為等邊三角形；

（2）若AP⊥ON，
∵∠AON=60°，
∴OP=OA•cos60°=

1

2

a；
若PA⊥OA，則OP=

OA

cos60°

=2a，
∴當OP=

1

2

a或2a時，△AOP為直角三角形；

（3）由（2）可得：當OP滿足OP＞2a或OP＜

1

2

a時，△AOP為鈍角三角形．
故答案為：（1）a，（2）

1

2

a或2a，（3）OP＞2a或OP＜

1

2

a．

點評：此題考查了等邊三角形的性質、直角三角形的性質以及三角函數等知識．此題難度適中，注意掌握數形結合思想與分類討論思想的應用．