Question

如圖，拋物線m ：y=（x+h ）²+k 與x 軸的交點為A 、B ，與y 軸的交點為C ，頂點為M （3，），將拋物線m 繞點B旋轉180°，得到新的拋物線n，它的頂點為D。
（1）求拋物線n的解析式；
（2）設拋物線n與x 軸的另一個交點為E，點P是線段ED上一個動點（P 不與E 、D 重合），過點P 作y 軸的垂線，垂足為F ，連接EF ．如果P 點的坐標為（x ，y ），△PEF的面積為S，求S 與x的函數關系式，寫出自變量x 的取值范圍，并求出S 的最大值；
（3）設拋物線m 的對稱軸與x 軸的交點為G ，以G為圓心，A、B兩點間的距離為直徑作⊙G ，試判斷直線CM與⊙G 的位置關系，并說明理由。

Answer 1

解：（1）∵拋物線m的頂點為， ∴m的解析式為 ∴ ∵拋物線n是由拋物線m繞點B旋轉180°得到， ∴D的坐標為， ∴拋物線n的解析式為：， 即； （2）∵點E與點A關于點B中心對稱， ∴E（18，0）， 設直線ED的解析式為y=kx+b， 則 ∴ ∴ 又點P坐標為（x ，y ） ∴ ， ∴當時，S有最大值， 但，所以的面積S沒有最大值； （3）∵拋物線m的解析式為，令x=0，得y=4， ∴ ∵拋物線m的對稱軸與x軸的交點為G， ∴， ∴ 又AB=10 ∴⊙G的半徑為5， ∴點C在⊙G上， 過M點作y軸的垂線，垂足為N， 則 又， ∴， ∴直線CM與⊙G相切。