Question

【題目】如圖，一直角三角形的直角頂點P在邊長為1的正方形ABCD對角線AC上運動（點P與A、C兩點不重合）且它的一條直角邊始終經過點D，另一直角邊與射線BC交于點E．

（1）當點E在BC邊上時，

①求證：△PBC≌△PDC；

②判斷△PBE的形狀，并說明理由；

（2）設AP＝x，△PBE的面積為y．

①求出y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；

②當x取何值時，y取得最大值，并求出這個最大值．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②△PBE是等腰三角形；（2）①；當x＝時，y最大值＝．

【解析】

（1）①根據SAS證明兩三角形全等；

②由△PBC≌△PDC得∠PBC＝∠PDC，由∠BCD＝∠DPE＝90°，∠PEB＝∠PDC，∠PEB＝∠PBC即可證明PB＝PE，即△PBE為等腰三角形；

（2）①作高線PF，分別計算BE和PF的長，根據三角形面積公式可得y關于x的函數關系式；

②將①中所得二次函數的解析式配方后可得結論．

解：（1）①∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC＝DC，∠BCD＝90°，AC平分∠BCD．

∴∠BCP＝∠DCP＝45°．

∵PC＝PC，

∴△PBC≌△PDC （SAS）；

②△PBE是等腰三角形，理由是：

由△PBC≌△PDC可知，∠PBC＝∠PDC．

∵∠BCD＝∠DPE＝90°，

∴∠PDC+∠PEC＝180°，

又∠PEB+∠PEC＝180°，

∴∠PEB＝∠PDC，

∴∠PEB＝∠PBC．

∴PB＝PE，即△PBE是等腰三角形．

（2）①如圖1，過點P作PF⊥BC，垂足為F，則BF＝FE．

∵AP＝x，AC＝，

∴PC＝﹣x，PF＝FC＝

BF＝FE＝1﹣FC＝1﹣（1﹣x）＝x．

∴S△PBE＝＝BFPF＝x（1﹣x）＝．

即

②y＝=

∵a＝﹣＜0，

∴當x＝時，y最大值＝．