Question

已知兩個正數的立方和是最小的質數．求證：這兩個數之和不大于2．

Answer 1

設這兩個正數為a，b．則原題成為已知a³+b³=2，求證a+b≤2．

證明（反證法）：

若a+b＞2由于a³+b³=2，必有一數小于或等于1，設為b≤1，→a＞2b，這個不等式兩邊均為正數，→a³＞(2-b)³．

→a³＞8-12b+6b²-b³．

→a³+b³＞8-12b+6b²．

→6b²-12b+6＜0．

→b²-2b+1＜0．

→(b-1)²＜0．     矛盾．

∴a+b≤2．即本題的結論是正確的．