Question

如圖，在坐標系中，菱形ABCD的邊BC與x軸重合，點B與原點重合，AB＝10， ∠ABC＝60°．動點P從點B出發沿BC邊以每秒1個單位長的速度勻速運動；動點Q從點D出發沿折線DC－CB－BA以每秒3個單位長的速度勻速運動，過點P作PF⊥BC，交折線AB－AC于點E，交直線AD于點F．若P、Q兩點同時出發，當其中一點到達終點時整個運動隨之停止，設運動時間為t秒．

（1）寫出點A與點D的坐標

（2）當t=3秒時，試判斷QE與AB之間的位置關系？

（3）當Q在線段DC上運動時，若△PQF為等腰三角形，求t的值；

（4）設△PQE的面積為S，求S與t的函數關系式；

 

Answer 1

【答案】

（1）  A(5,)  D(15,) 

(2) 當t=3時，EQ⊥ AB

過A作AM//EQ,

 ∵BP=3時，∠B=60°∴BE=6，

∴AE=10－6=4，

∴AE=QM=4,

∴DM=3×3－4＝5，

∴DM=AD，又∵∠ADC=60°，

∴∠AMD=90°，

∴∠AEQ=90°，

∴EQ⊥AB。

（3）P點坐標為（t,0），F坐標為（t, ）,Q（，）

（1）當FQ=PQ時，t= 

 （2）當PF=FQ時，，

∴t₁,t₂=5(舍)

（3）當PF=PQ時，

∴t₁ (舍)，t₂=，

∴當t= 或或時，△PQF為等腰△。

（4）0∠t≤時，

      S=10×--

      =-，

       　＜t≤5時，

S=

=+　     

        5＜t＜6時，

S=

6＜t時≤，

S=

＜t≤10,

S=

    =-

【解析】（1）利用菱形的邊角關系求出A、D點坐標；

（2）過A作AM//EQ,先算出DM的長，然后根據邊角的關系得出∠AMD=90°，再根據四邊形AEQM是平行四邊形得出∠AEQ=90°，從而得出EQ⊥AB。

（3）分PF=FQ、FQ=PQ、PF=PQ三種情況進行討論；

（4）分五種情況進行討論。