Question

【題目】如圖，拋物線與直線交于A、B兩點點A在點B的左側，動點P從A點出發，先到達拋物線的對稱軸上的某點E，再到達x軸上的某點F，最后運動到點若使點P運動的總路徑最短，則點P運動的總路徑的長為　　

A.

B.

C.

D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

首先根據題意求得點A與B的坐標，求得拋物線的對稱軸，然后作點A關于拋物線的對稱軸x=的對稱點A′，作點B關于x軸的對稱點B′，連接A′B′，則直線A′B′與直線x=的交點是E，與x軸的交點是F，而且易得A′B′即是所求的長度．

如圖

∵拋物線y=x2-x-與直線y=x-2交于A、B兩點，

∴x2-x-=x-2，

解得：x=1或x=，

當x=1時，y=x-2=-1，

當x=時，y=x-2=-，

∴點A的坐標為（，-），點B的坐標為（1，-1），

∵拋物線對稱軸方程為：x=-=

作點A關于拋物線的對稱軸x=的對稱點A′，作點B關于x軸的對稱點B′，

連接A′B′，

則直線A′B′與對稱軸（直線x=）的交點是E，與x軸的交點是F，

∴BF=B′F，AE=A′E，

∴點P運動的最短總路徑是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′，

延長BB′，AA′相交于C，

∴A′C=++（1-）=1，B′C=1+=，

∴A′B′=．

∴點P運動的總路徑的長為．

故選A．