Question

如圖，已知點A（-12，0），B（3，0），點C在y軸的正半軸上，且∠ACB=90°．
（1）求點C的坐標；
（2）求Rt△ACB的角平分線CD所在直線l的解析式；
（3）在l上求出滿足S_△PBC=S_△ABC的點P的坐標；
（4）已知點M在l上，在平面內是否存在點N，使以O、C、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在．請說明理由．

Answer 1

解：（1）由△AOC∽△COB，可得OC²=OA×OB=36，
∴OC=6
又∵點C在y軸的正半軸上，
∴點C的坐標是（0，6）；

（2）過點D作DE⊥BC于點E．設DB的長為m．
在Rt_△DEB中，DE=DB•sinB=m•=m，BE=DB•cosB=m
在Rt_△DEC中，∠DEC=45°，于是CE=DE=m
由CE+BE=BC，即m+m=3，解得m=5
又由OA＞OB，知點D在線段OA上，OB=3，所以OD=2，故點D（-2，0）；
設直線l的解析式為：y=kx+b，把C（0，6）和D（-2，0）代入y=kx+b中，
得，
解得．
故直線l的解析式為：y=3x+6；

（3）①取AB的中點F（-4.5，0），過點F作BC的平行線交直線l于點P₁，連接CF．
易知S_△P1BC=S_△FBC=S_△ACB，∴點P₁為符合題意的點．
直線P₁F可由直線BC向左平移BF個單位得到（即向左平移7.5個單位）
而直線BC的解析式為y=-2x+6，

即直線P₁F的解的式為y=-2（x+7.5）+6即
y=-2x-9，由得點P₁（-3，-3）
②在直線l上取點P₂使C P₂=C P₁，此時有S_△P2BC=S_△P1BC=S_△ACB，∴點符P₂合題意．
由C P₂=C P₁，可得點P₂的坐標為（3，15），∴點P（-3，-3）或P（3，15）可使S_△PBC=S_△APBC；

（4）當OC是菱形的對角線時，OC的中點的坐標是（0，3），則把y=3代入l的解析式得：3x+6=3，
解得：x=-1．
則M的坐標是（-1，3），N的坐標是（1，3）；
當OC是菱形的一條邊時，點N的坐標是（-，-），（，），（-，-）．
故N的坐標是（1，3）或（-，-）或（，）或（-，-）．
分析：（1）OC是直角△ABC斜邊上的高線，則△AOC∽△COB，根據相似三角形的對應邊的比相等，即可求得OC的長，進而求得C的坐標；
（2）過點D作DE⊥BC于點E．設DB的長為m，在直角△BDE中，利用三角函數利用m表示出DE和BE的長，進而表示出CE的長，根據BE+CE=BC即可得到一個關于m的方程求得m的值，則D的橫坐標即可求解，然后利用待定系數法即可求得函數的解析式；
（3）延長AB到Q使BG=AB，根據S_△PBC=S_△ABC則點P一定在經過AB的中點或Q平行于直線BC的直線上，這條直線與l的交點就是P點；
（4）當OC是菱形的對角線時，MN一定在AC的中垂線上，且MN一定關于OC對稱，據此即可求得N的坐標；
當OC是菱形的一條邊時，依據M在直線l上，即可求得M的坐標，再由MN∥OC，MN=OC即可得出N點坐標．
點評：本題是待定系數法求函數的解析式，以及三角形的面積，直線平行的條件，菱形的性質的綜合應用，正確進行討論是關鍵．