Question

【題目】有這樣一個問題：探究方程x3﹣x﹣2＝0的實數根的個數.

小芳想起了曾經解決的一個問題：通過函數圖象探究方程x2+3x﹣1＝0的實數根的個數，她想到了如下的幾個方法：

方法1：方程x2+3x﹣1＝0的根可以看作是拋物線y＝x2+3x﹣1與直線y＝0（即x軸）交點的橫坐標；這兩個圖象的交點個數即是方程x2+3x﹣1＝0的實數根的個數.

方法2：將方程變形成x2＝﹣3x+1，那么方程x2+3x﹣1＝0的根也可以看作是拋物線y＝x2與直線y＝﹣3x+1交點的橫坐標；這兩個圖象的交點個數即是方程x2+3x﹣1＝0的實數根的個數.

方法3：由于x≠0，將方程變形成，那么方程x2+3x﹣1＝0的根也可以看作是直線y＝x+3與雙曲線交點的橫坐標；這兩個圖象的交點個數即是方程x2+3x﹣1＝0的實數根的個數.

她類比上述方法，借助函數圖象的交點個數對方程x3﹣x﹣2＝0的實數根的個數進行了探究.

下面是小芳的探究過程，請補充完成：

（1）x＝0 方程x3﹣x﹣2＝0的根；（填”是”或”不是”）

（2）方程x3﹣x﹣2＝0的根可以看作是函數 與函數 的圖象交點的橫坐標；

（3）在同一坐標系中畫出兩個函數的圖象；

（4）觀察圖象可得，方程x3﹣x﹣2＝0的實數根的個數是 個.

Answer 1

【答案】（1）不是；（2）y＝x2﹣1， ；（3）見解析；（4）1

【解析】

（1）將x＝0代入x3﹣x﹣2中，可知x＝0不是方程x3﹣x﹣2＝0的根；

（2）將原方程變形為（x≠0），由此即可得出結論；

（3）畫出函數y＝x2﹣1與函數的圖象；

（4）根據兩函數圖象交點的個數，找出方程解得個數.

解：（1）當x＝0時，x3﹣x﹣2＝﹣2，

∴x＝0不是方程x3﹣x﹣2＝0的根.

故答案為：不是.

（2）∵方程x3﹣x﹣2＝0可變形為（x≠0），

∴方程x3﹣x﹣2＝0的根可以看作是函數y＝x2﹣1與函數的圖象交點的橫坐標.

故答案為：y＝x2﹣1；.

（3）畫出兩函數圖象，如圖所示.

（4）觀察圖象可知，函數y＝x2﹣1與函數的圖象只有一個交點，

∴方程x3﹣x﹣2＝0的實數根的個數是1個.

故答案為：1.