Question

【題目】校園安全與每個師生、家長和社會有著切身的關系．某校教學樓共五層，設有左、右兩個樓梯口，通常在放學時，若持續不正常，會導致等待通過的人較多，發生擁堵，從而出現不安全因素．通過觀察發現位于教學樓二、三樓的七年級學生從放學時刻起，經過單個樓梯口等待人數按每分鐘12人遞增，6分鐘后經過單個樓梯口等待人數按每分鐘12人遞減；位于四、五樓的八年級學生從放學時刻起，經過單個樓梯口等待人數y2與時間為t（分）滿足關系式y2=﹣4t2+48t﹣96（0≤t≤12）．若在單個樓梯口等待人數超過80人，就會出現安全隱患．
（1）試寫出七年級學生在單個樓梯口等待的人數y1（人）和從放學時刻起的時間t（分）之間的函數關系式，并指出t的取值范圍．
（2）若七、八年級學生同時放學，試計算等待人數超過80人所持續的時間．
（3）為了避免出現安全隱患，該校采取讓七年級學生提前放學措施，要使單個樓梯口等待人數不超過80人，則七年級學生至少比八年級提前幾分鐘放學？

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得，y1= ；
（2）解：同時放學：七年級單個樓梯口等待人數為y= ，

當0≤t≤6時，﹣4t2+60t﹣96=80，得t1=4，t2=11，

∴4≤t≤6；

當6＜t≤12時，﹣4t2+36t+48=80，得t1=1，t2=8，

∴6＜t≤8．

∵8﹣4=4，

∴等待人數超過80人所持續的時間為：8﹣4=4（分）．

∴等待人數超過80人所持續的時間為：8﹣4=4分鐘；

（3）解：設七年級學生比八年級提前m（m＞0）分鐘放學，

當0≤t≤6﹣m時，y=﹣4t2+48t﹣96+12（t+m）=﹣4t2+60t+12m﹣96，

∵﹣ =7.5＞6﹣m，

∴當t=6﹣m時，y有最大值=﹣4m2+120，由﹣4m2+120≤80，

∵m＞0，

∴m2≥10，得m≥ ；

當6﹣m＜t≤12﹣m時，y=﹣4t2+48t﹣96+144﹣12（t+m）=﹣4t2+36t﹣12m+48，

∵﹣ =4.5，

∴當t=4.5時，y有最大值=129﹣12m≤80，得m≥4 ；

當12﹣m＜t≤12時，y=﹣4t2+48t﹣96=﹣4（t﹣6）2+48≤48．

∴要使單個樓梯口等待人數不超過80人，則七年級學生比八年級至少提前4 分鐘放學，

【解析】（1）前六分鐘時，七年級單個樓梯口等待人數=12×時間；6分鐘后七年級單個樓梯口等待人數=6×12﹣12×超過6分鐘的時間，注意應根據等待的人數為非負數得到自變量的取值；（2）根據同時放學4、5樓不變，但2、3樓需要加八年級的人數，從而得出關系式求出即可；（3）讓（1）（2）得到的式子為80列式求值即可．