Question

【題目】點O為直線AB上一點，在直線AB同側任作射線OC、OD，使得∠COD=90°

（1）如圖1，過點O作射線OE，當OE恰好為∠AOC的角平分線時，另作射線OF，使得OF平分∠BOD，則∠EOF的度數是__________度；

（2）如圖2，過點O作射線OE，當OE恰好為∠AOD的角平分線時，求出∠BOD與∠COE的數量關系；

（3）過點O作射線OE，當OC恰好為∠AOE的角平分線時，另作射線OF，使得OF平分∠COD，若∠EOC=3∠EOF，直接寫出∠AOE的度數

Answer 1

【答案】（1）135°；（2）∠BOD=2∠COE；（3）67.5°.

【解析】

（1）由∠COD=90°，則∠AOC+∠BOD=90°，由OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，得∠COE+∠DOF=45°，即可求出∠EOF的度數；

（2）由題意得出∠BOD+∠AOC=90°，∠BOD=180°∠AOD，再由角平分線的定義進行計算，即可得出結果；

（3）由角平分線定義得出∠AOC=∠COE，∠COF=∠DOF=45°，再由∠BOD+∠AOC=90°，設∠EOF=x，則∠EOC=3x，∠COF=4x，根據題意得出方程，解方程即可．

解：（1）如圖：

∵∠COD=90°，

∴∠AOC+∠BOD=90°，

∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，

∴∠COE+∠DOF=，

∴∠EOF=∠COE+∠COD+∠DOF=45°+90°=135°；

故答案為：135°；

（2）∠BOD=2∠COE；

理由如下：如圖，

∵∠COD=90°．

∴∠BOD+∠AOC=90°，

∵OE平分∠AOD，

∴∠AOE=∠DOE=∠AOD，

又∵∠BOD=180°∠AOD，

∴∠COE=∠AOE∠AOC

=∠AOD（90°∠BOD）

=（180°∠BOD）90°+∠BOD

=∠BOD，

∴∠BOD=2∠COE；

（3）如圖，

∵OC為∠AOE的角平分線，OF平分∠COD，

∴∠AOC=∠COE，∠COF=∠DOF=45°，

∵∠EOC=3∠EOF，

設∠EOF=x，則∠EOC=3x，

∴∠COF=4x，

∴∠AOE=2∠COE=6x，∠DOF=4x，

∵∠COD=90°，

∴4x+4x=90°，

解得：x=11.25°，

∴∠AOE=6×11.25°=67.5°．