Question

【題目】某商品的進價為每件30元，售價為每件40元，每周可賣出180件；如果每件商品的售價每上漲1元，則每周就會少賣出5件，但每件售價不能高于50元，設每件商品的售價上漲x元（x為整數），每周的銷售利潤為y元．

（1）求y與x的函數關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；

（2）每件商品的售價為多少元時，每周可獲得最大利潤？最大利潤是多少？

（3）每件商品的售價定為多少元時，每周的利潤恰好是2145元？

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣5x2+130x+1800（0≤x≤15） （2）53元，2645元（3）43元

【解析】

（1）根據銷售利潤=每件的利潤·銷售數量，構建函數關系即可．
（2）利用二次函數的性質即可解決問題．
（3）列出方程，解方程即可解決問題．

解：（1）由題意得：

y＝（40+x﹣30）（180﹣5x）＝﹣5x2+130x+1800（0≤x≤15）

∵180﹣5x＞0,且40+x≤55,x＞0，

∴0≤x≤15.

（2）對稱軸：x＝﹣＝﹣＝13，

∵13＜15，a＝﹣5＜0，

∴在對稱軸左側，y隨x增大而增大，

∴當x＝13時，y最大值＝﹣5×132+130×13+1800＝2645，

∴售價＝40+13＝53元

答：當售價為53元時，可獲得最大利潤2645元．

（3）由題意得：﹣5x2+130x+1800＝2145

解之得：x＝3或23（不符合題意，舍去）

∴售價＝40+3＝43元．

答：售價為43元時，每周利潤為2145元．