Question

已知如圖，⊙O中，AE為直徑，AD⊥BC
（1）說明：AB•AC=AE•AD；
（2）若AC=5，DC=3，AB=4

2

，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）欲證明AB•AC=AE•AD只要證明△ABE∽△ADC即可，連接BE，由AE是⊙O的直徑可知∠ABE=90°，所以∠BAE+∠E=90°，再由AD為△ABC的BC邊上的高可知∠ADC=90°，故∠E=∠ACB，所以∠BAE=∠CAD則△ABE∽△ADC．
（2）由（1）可知△ABE∽△ADC，利用勾股定理和相似三角形的性質即可求出圓的半徑．

解答：證明：連接BE，
∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ABE=90°．
∴∠BAE+∠E=90°．
∵AD是△ABCBC邊上的高，
∴∠ADC=90°．
∴∠CAD+∠ACB=90°．
∵∠E=∠ACB，
∴∠BAE=∠CAD，
∴△ABE∽△ADC，
∴

AB

AD

=

AE

AC

，
∴AB•AC=AE•AD；

（2）∵AC=5，DC=3，
∴AD=4，
∵AB=4

2

，
∴

4 2

4

=

AE

5

，
∴AE=5

2

，
∴求⊙O的半徑為

5 2

2

．

點評：本題考查的是圓周角定理及直角三角形的性質和相似三角形的判定以及性質，熟知“在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等”是解答此題的關鍵．