Question

一次函數y=（k-

2

3

）x-3k+10（k為偶數）的圖象經過第一、二、三象限，與x軸、y軸分別交于A、B兩點，過點B作一直線與坐標軸圍成的三角形面積為2，交x軸于點C．
（1）求該一次函數的解析式；
（2）若一開口向上的拋物線經過點A、B、C三點，求此拋物線的解析式；
（3）過（2）中的A、B、C三點作△ABC，求tan∠ABC的值．

Answer 1

分析：（1）求該一次函數y=（k-

2

3

）x-3k+10（k為偶數）的解析式，需求出k的值，根據圖象經過第一、二、三象限，得到k的取值范圍，確定k的值，得到一次函數的解析式為y=

4

3

x+4．
（2）求拋物線的解析式，可用待定系數法，需要求出A，B，C三點的坐標，
先根據一次函數的解析式求出A、B兩點的坐標，再由S_△BOC=2，求出C點坐標．
（3）要求tan∠ABC的值，根據正切函數的定義，構造一個以∠ABC為內角的直角三角形，過C作CD⊥AB于D，則tan∠ABC=

DC

BD

．由于已知A、B、C三點的坐標，可根據三角函數的定義分別求出DC，AD的值，再算出BD的值．

解答：解：（1）由題意得：

k- 2 3 ＞0 -3k+10＞0

，
解得，

2

3

＜k＜

10

3

，
又∵k為偶數，
∴k=2，
∴一次函數的解析式為y=

4

3

x+4．

（2）求得A（-3，0）、B（0，4），
∴OB=4，
∵S_△BOC=

1

2

•OB•OC=2•OC=2，
∴OC=1，
∴C（1，0）或（-1，0）．
若取C（1，0）、A（-3，0）、B（0，4），設y=a（x+3）（x-1），
將B（0，4）代入，
解得a=-

4

3

＜0（舍去），
若取C（-1，0）、A（-3，0）、B（0，4），
設y=a（x+3）（x+1），將B（0，4）代入，
求得a=

4

3

，
∴拋物線為y=

4

3

x²+

16

3

x+4．

（3）如圖，過C作CD⊥AB于D，則tan∠ABC=

DC

BD

，
∵sin∠BAO=

OB

AB

=

CD

AC

，cos∠BAO=

AO

AB

=

AD

AC

，
∴

CD

AC

=

4

5

，DC=

8

5

，

AD

AC

=

3

5

，AD=

6

5

，
∴BD=

19

5

，
∴tan∠ABC=

8

19

．

點評：本題主要考查一次函數的圖象與性質，用待定系數法求二次函數的解析式，三角函數等知識．當已知三點的坐標，求拋物線的解析式時，可設三點式或者頂點式或者交點式，具體設哪一種形式比較簡便，要視三點的坐標而定，本題用交點式比較簡便．