Question

【題目】四邊形ABCD為正方形，點E為線段AC上一點，連接DE，過點E作EF⊥DE，交射線BC于點F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG.

(1)如圖，求證：矩形DEFG是正方形；

(2)若AB＝2，CE＝2，求CG的長；

(3)當直線DE與正方形ABCD的某條邊所夾銳角是40°時，直接寫出∠EFC的度數．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)CG=2； (3)130°或40°.

【解析】

（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，證明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF=ED，根據正方形的判定定理證明即可；

（2）通過計算發現E是AC中點，點F與C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解決問題；

（3）分兩種情形考慮問題即可．

（1）證明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，

∵∠DCA=∠BCA，

∴EQ=EP，

∵∠QEF+∠FEC=45°，∠PED+∠FEC=45°，

∴∠QEF=∠PED，

在Rt△EQF和Rt△EPD中，

，

∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），

∴EF=ED，

∴矩形DEFG是正方形；

（2）如圖2中，在Rt△ABC中．AC=AB=4，

∵EC=2，

∴AE=CE，

∴點F與C重合，此時△DCG是等腰直角三角形，易知CG=2；

（3）①如圖3，當DE與AD的夾角為40°時，

∠DEC=45°+40°=85°，

∵∠DEF=90°，

∴∠CEF=5°，

∵∠ECF=45°，

∴∠EFC=130°，

②如圖4，當DE與DC的夾角為40°時，

∵∠DEF=∠DCF=90°，

∴∠EFC=∠DEC=40°，

綜上所述，∠EFC=130°或40°．