Question

【題目】閱讀下列材料，完成相應學習任務：

四點共圓的條件

我們知道，過任意一個三角形的三個頂點能作一個圓，過任意一個四邊形的四個頂點能作一個圓嗎？小明經過實踐探究發現：過對角互補的四邊形的四個頂點能作一個圓，下面是小明運用反證法證明上述命題的過程：

已知：在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°．

求證：過點A、B、C、D可作一個圓．

證明：如圖（1），假設過點A、B、C、D四點不能作一個圓，過A、B、C三點作圓，若點D在圓外，設AD與圓相交于點E，連接CE，則∠B+∠AEC=180°，而已知∠B+∠D=180°，所以∠AEC=∠D，而∠AEC是△CED的外角，∠AEC＞∠D，出現矛盾，故假設不成立，因此點D在過A、B、C三點的圓上．

如圖（2）假設過點A、B、C、D四點不能作一個圓，過A、B、C三點作圓，若點D在圓內，設AD的延長線與圓相交于點E，連接CE，則∠B+∠AEC=180°，而已知∠B+∠ADC=180°，所以∠AEC=∠ADC，而∠ADC是△CED的外角，∠ADC＞∠AEC，出現矛盾，故假設不成立，因此點D在過A、B、C三點的圓上．

因此得到四點共圓的條件：過對角互補的四邊形的四個頂點能作一個圓．

學習任務：

（1）材料中劃線部分結論的依據是　 　．

（2）證明過程中主要體現了下列哪種數學思想：　 　（填字母代號即可）

A、函數思想 B、方程思想 C、數形結合思想 D、分類討論思想

（3）如圖（3），在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=16°．AD=BD，則求∠ADB的大小．

Answer 1

【答案】（1）圓的內接四邊形對角互補（2）D；（3）∠ADB=32°

【解析】試題分析：（1）材料中劃線部分結論的依據圓的內接四邊形對角互補；

（2）證明過程中分點D在圓外或圓內兩種情形討論，主要體現了分類討論的數學思想；

（3）利用“對角互補的四邊形的四個頂點能作一個圓”這個結論，結合同弧所對的圓周角相等以及等腰三角形的性質，即可解決問題．

試題解析：

解：（1）材料中劃線部分結論的依據圓的內接四邊形對角互補，

故答案為圓的內接四邊形對角互補；

（2）證明過程中主要體現了分類討論的數學思想，分點D在圓外或圓內兩種情形討論．

故答案為D；

（3）解：∵∠ABC＋∠ADC＝180°，

∴過四邊形ABCD的四個頂點能作一個圓（如圖所示），

∴∠CBD＝∠CAD＝16°，

∴∠ABD＝74°，

又∵AD＝BD，

∴∠BAD＝∠ABD＝74°，

∴∠ADB＝32°．