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(2013•峨眉山市二模)已知,如圖,拋物線的頂點為C(1,-2),直線y=kx+m與拋物線交于A、B兩點,其中OA=3,B點在y軸上.點P為線段AB上的一個動點(點P與點A、B不重合),過點P且垂直于x軸的直線與這條拋物線交于點E.
(1)求直線AB的解析式;
(2)設點P的橫坐標為x,求點E坐標(用含x的代數式表示);
(3)點D是直線AB與這條拋物線對稱軸的交點,是否存在點P,使得以點P、E、D為頂點的三角形與△AOB相似?若存在,請求出點P的坐標;若不存在請說明理由.
分析:(1)首先設二次函數的解析式為y=a(x-1)2-2,由A點坐標為(3,0),則可將A點的坐標代入函數解析式,利用待定系數法即可求得這個二次函數的解析式,當x=0時求出點C的坐標,設直線AB的解析式為y=kx+b,把點A、B的坐標代入解析式,求出k,b的值即可得出AB的解析式;
(2)根據點橫坐標為x,且PE⊥x軸,可得E點橫坐標為x,又知E點在拋物線上,代入x即可得出E點坐標;
(3)分別從當∠EDP=90°時,△AOB∽△EDP與當∠DEP=90°時,△AOB∽△DEP兩種情況去分析,注意利用相似三角形的對應邊成比例等性質,即可求得答案,注意不要漏解.
解答:解:(1)解:(1)設二次函數的解析式為y=a(x-1)2-2,
∵A(3,0)在拋物線上,
∴0=a(3-1)2-2
∴a=
1
2
,
∴y=
1
2
(x-1)2-2,
當x=0時,y=-
3
2
,
∴B(0,-
3
2
),
∴設直線AB的解析式為y=kx+b,
把點A、B的坐標代入解析式得:
3k+b=0
b=-
3
2

解得:
k=
1
2
b=-
3
2
,
∴直線AB的解析式為y=
1
2
x-
3
2
; 

(2)∵P為線段AB上的一個動點,PE⊥x軸,且P點橫坐標為x,
∴E點橫坐標為x,
∵E在拋物線上,
∴E點坐標為(x,
1
2
(x-1)2-2);

(3)D點在拋物線y=
1
2
(x-1)2-2的對稱軸上,橫坐標為1,
又∵D點直線AB上,
∴D的坐標為:D(1,-1),
①當∠DEP=90°時,如圖,△AOB∽△EDP,
AB
OB
=
PE
DP

過點D作DQ⊥PE于Q,
∴xQ=xP=x,yQ=-1,
∴△DQP∽△AOB∽△EDP,
DP
DQ
=
AB
OA
,
又OA=3,OB=
3
2
,AB=
3
5
2
,
又DQ=x-1,
∴DP=
5
2
(x-1),
3
5
2
3
2
=
-
1
2
x2+
3
2
x
5
2
(x-1)
=,
解得:x=-1±
6
(負值舍去).
∴P(
6
-1,
6
-4
2
)(如圖中的P1點);
②當∠DEP=90°時,△AOB∽△DEP,
OA
OB
=
DE
PE

由(2)PE=-
1
2
x2+
3
2
x,DE=x-1,
3
2
3
=
-
1
2
x2+
3
2
x
5
2
(x-1)
,
解得:x=1±
2
,(負值舍去).
∴P(1+
2
,
2
2
-1)(如圖中的P2點);
綜上所述,P點坐標為(1+
2
,
2
2
-1)或(
6
-1,
6
-4
2
).
點評:此題考查了待定系數法求函數的解析式,相似三角形的判定與性質等知識.此題綜合性很強,解題的關鍵是方程思想,分類討論思想與數形結合思想的應用.
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