Question

（2013•峨眉山市二模）已知，如圖，拋物線的頂點為C（1，-2），直線y=kx+m與拋物線交于A、B兩點，其中OA=3，B點在y軸上．點P為線段AB上的一個動點（點P與點A、B不重合），過點P且垂直于x軸的直線與這條拋物線交于點E．
（1）求直線AB的解析式；
（2）設點P的橫坐標為x，求點E坐標（用含x的代數式表示）；
（3）點D是直線AB與這條拋物線對稱軸的交點，是否存在點P，使得以點P、E、D為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先設二次函數的解析式為y=a（x-1）²-2，由A點坐標為（3，0），則可將A點的坐標代入函數解析式，利用待定系數法即可求得這個二次函數的解析式，當x=0時求出點C的坐標，設直線AB的解析式為y=kx+b，把點A、B的坐標代入解析式，求出k，b的值即可得出AB的解析式；
（2）根據點橫坐標為x，且PE⊥x軸，可得E點橫坐標為x，又知E點在拋物線上，代入x即可得出E點坐標；
（3）分別從當∠EDP=90°時，△AOB∽△EDP與當∠DEP=90°時，△AOB∽△DEP兩種情況去分析，注意利用相似三角形的對應邊成比例等性質，即可求得答案，注意不要漏解．

解答：解：（1）解：（1）設二次函數的解析式為y=a（x-1）²-2，
∵A（3，0）在拋物線上，
∴0=a（3-1）²-2
∴a=

1

2

，
∴y=

1

2

（x-1）²-2，
當x=0時，y=-

3

2

，
∴B（0，-

3

2

），
∴設直線AB的解析式為y=kx+b，
把點A、B的坐標代入解析式得：

3k+b=0 b=- 3 2

，
解得：

k= 1 2 b=- 3 2

，
∴直線AB的解析式為y=

1

2

x-

3

2

； 

（2）∵P為線段AB上的一個動點，PE⊥x軸，且P點橫坐標為x，
∴E點橫坐標為x，
∵E在拋物線上，
∴E點坐標為（x，

1

2

（x-1）²-2）；

（3）D點在拋物線y=

1

2

（x-1）²-2的對稱軸上，橫坐標為1，
又∵D點直線AB上，
∴D的坐標為：D（1，-1），
①當∠DEP=90°時，如圖，△AOB∽△EDP，
∴

AB

OB

=

PE

DP

．
過點D作DQ⊥PE于Q，
∴x_Q=x_P=x，y_Q=-1，
∴△DQP∽△AOB∽△EDP，
∴

DP

DQ

=

AB

OA

，
又OA=3，OB=

3

2

，AB=

3 5

2

，
又DQ=x-1，
∴DP=

5

2

（x-1），
∴

3 5 2

3 2

=

- 1 2 x2+ 3 2 x

5 2 (x-1)

=，
解得：x=-1±

6

（負值舍去）．
∴P（

6

-1，

6 -4

2

）（如圖中的P₁點）；
②當∠DEP=90°時，△AOB∽△DEP，
∴

OA

OB

=

DE

PE

．
由（2）PE=-

1

2

x²+

3

2

x，DE=x-1，
∴

3 2

3

=

- 1 2 x2+ 3 2 x

5 2 (x-1)

，
解得：x=1±

2

，（負值舍去）．
∴P（1+

2

，

2

2

-1）（如圖中的P₂點）；
綜上所述，P點坐標為（1+

2

，

2

2

-1）或（

6

-1，

6 -4

2

）．

點評：此題考查了待定系數法求函數的解析式，相似三角形的判定與性質等知識．此題綜合性很強，解題的關鍵是方程思想，分類討論思想與數形結合思想的應用．