Question

如圖，⊙O的直徑AB是4，過B點的直線MN是⊙O的切線，D、C是⊙O上的兩點，連接AD、BD、CD和BC．
（1）求證：∠CBN=∠CDB；
（2）若DC是∠ADB的平分線，且∠DAB=15°，求DC的長．

Answer 1

（1）證明：∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB=∠ADC+∠CDB=90°， ∵MN切⊙O于點B， ∴∠ABN=∠ABC+∠CBN=90°， ∴∠ADC+∠CDB=∠ABC+∠CBN； ∵∠ADC=∠ABC， ∴∠CBN=∠CDB； （2）解：如圖，連接OD、OC，過點O作OE⊥CD于點E； ∵CD平分∠ADB， ∴∠ADC=∠BDC， ∴弧AC=弧BC， ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB=90°， ∵DC是∠ADB的平分線， ∴∠BDC=45°， ∴∠BOC=90°； 又∵∠DAB=15°， ∴∠DOB=30°， ∴∠DOC=120°， ∵OD=OC，OE⊥CD， ∴∠DOE=60°， ∴∠ODE=30°， ∵OD=2， ∴OE=1，DE=， ∴CD=2DE=2．